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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 1.Teste do Capítulo - Ex. 2

Se possível, encontre os valores de x, y e z tais que:

1 2 3 2 5 3 1 0 8 - 40 16 x 13 - 5 y 5 2 z = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Passo 1

Iae, meus queridos! Td certinho??

A questão nos pediu os valores de x, y e z, dado que:

1 2 3 2 5 3 1 0 8 - 40 16 x 13 - 5 y 5 2 z = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Então primeiramente, vamos resolver essa multiplicação de matrizes.

1 2 3 2 5 3 1 0 8 - 40 16 x 13 - 5 y 5 2 z

1 · - 40 + 2 · 13 + 3 · 5 1 · 16 + 2 · - 5 + 3 · ( - 2 ) 1 · x + 2 · y + 3 · z 2 · - 40 + 5 · 13 + 3 · 5 2 · 16 + 5 · - 5 + 3 · ( - 2 ) 2 · x + 5 · y + 3 · z 1 · - 40 + 0 · 13 + 8 · 5 1 · 16 + 0 · - 5 + 8 · ( - 2 ) 1 · x + 0 · y + 8 · z

1 0 x + 2 y + 3 z 0 1 2 x + 5 y + 3 z 0 0 x + 8 z

Passo 2

Agora temos a seguinte igualdade:

1 0 x + 2 y + 3 z 0 1 2 x + 5 y + 3 z 0 0 x + 8 z = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Logo:

x + 2 y + 3 z = 0 2 x + 5 y + 3 z = 0 x + 8 z = 1

Agora podemos resolver o sistema de equações ou transformar em matrizes para resolver, como é o foco do capítulo, vamos resolver pela segunda opção.

1 2 3 2 5 3 1 0 8 x y z = 0 0 1

1 2 3 2 5 3 1 0 8 0 0 1

Passo 3

Vamos transformar a matriz 1 2 3 2 5 3 1 0 8 em uma matriz 1 0 0 0 1 0 0 0 1 (identidade) por meio de operações elementares.

1 2 3 2 5 3 1 0 8 0 0 1 L 2 ⇒ L 2 - 2 L 1 L 3 ⇒ L 3 - L 1

1 2 3 0 1 - 3 0 - 2 5 0 0 1 L 1 ⇒ L 1 - 2 L 2 L 3 ⇒ L 3 + 2 L 2

1 0 9 0 1 - 3 0 0 - 1 0 0 1 L 3 ⇒ - L 3

1 0 9 0 1 - 3 0 0 1 0 0 - 1 L 1 ⇒ L 1 - 9 L 3 L 2 ⇒ L 2 + 3 L 3

1 0 0 0 1 0 0 0 1 9 - 3 - 1

Prontinho, temos a solução.

x = 9 y = - 3 z = - 1

Foi moleza, né? Bora pra outra.

Resposta

x = 9 y = - 3 z = - 1