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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 1.2 - Ex. 12a

Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas:

a)         x 1     +     2 x 2 +             -       3 x 4     +     x 5     +                     = 2         x 1   +     2 x 2     + x 3     -   3 x 4     +   x 5   +     2 x 6 = 3 x 1     +     2 x 2 +             -       3 x 4 +   2 x 5   +   x 6 = 4 3 x 1   +     6 x 2     +   x 3 - 9 x 4 +   4 x 5   +     3 x 6 = 9

Passo 1

Oi, oi pessoal!

Sim, o sistema é grande, mas dá para fazer. Simbora!

a)Galerinha, vamos começar montando a matriz aumentada do sistema

A   =   1 2 0 - 3 1 0 |   2 1 2 1 - 3 1 2 |   3 1 2 0 - 3 2 1 |   4 3 6 1 - 9 4 3 |   9  

Agora sim realizamos as operações elementares em suas linhas, vejam a seguir:

1 2 0 - 3 1 0 |   2 1 2 1 - 3 1 2 |   3 1 2 0 - 3 2 1 |   4 3 6 1 - 9 4 3 |   9   → L 2 - L 1 → L 2 1 2 0 - 3 1 0 |   2 0 0 1 0 0 2 |   1 1 2 0 - 3 2 1 |   4 3 6 1 - 9 4 3 |   9   → L 3 - L 1 → L 3

1 2 0 - 3 1 0 |   2 0 0 1 0 0 2 |   1 0 0 0 0 1 1 |   2 3 6 1 - 9 4 3 |   9   → L 4 - 3 L 1 → L 4 1 2 0 - 3 1 0 |   2 0 0 1 0 0 2 |   1 0 0 0 0 1 1 |   2 0 0 1 0 1 3 |   3   → L 4 - L 2 → L 4  

1 2 0 - 3 1 0 |   2 0 0 1 0 0 2 |   1 0 0 0 0 1 1 |   2 0 0 0 0 1 1 |   2   → L 4 - L 3 → L 4 1 2 0 - 3 1 0 |   2 0 0 1 0 0 2 |   1 0 0 0 0 1 1 |   2 0 0 0 0 0 0 |   0   → L 1 - L 3 → L 1

1 2 0 - 3 0 - 1 |   0 0 0 1 0 0 2 |   1 0 0 0 0 1 1 |   2 0 0 0 0 0 0 |   0  

Pronto, encontramos a matriz escalonada.

Primeira parte concluída com sucesso.

Passo 2

Com a nossa matriz escalonada, vamos montar o sistema que ela representa.

x 1 + 2 x 2 - 3 x 4 - x 6 = 0 x 3 + 2 x 6 = 1 x 5 + x 6 = 2

Pela equação 1 do sistema, concluímos que: x 1 = - 2 x 2 + 3 x 4 + x 6

Observando a equação 2, percebe-se que: x 3 = 1 - 2 x 6

E na última equação, temos: x 5 = 2 - x 6

Assim, considerando x 2 = γ , x 4 = β , x 6 = α , a solução geral é dada por:

X =   x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 =   - 2 γ + 3 β + α γ 1 - 2 α β 2 - α α ,   ∀ α ,   β ,   γ   ϵ   R

E aí? Pronto para mais uma?

Resposta

a) X =   - 2 γ + 3 β + α γ 1 - 2 α β 2 - α α ,   ∀ α ,   β ,   γ   ϵ   R