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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 1.2 - Ex. 12b

Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas:

b)   x 1     +   3 x 2 - 2 x 3                                         +     2 x 5                         = 0         2 x 1   +     6 x 2   -   5 x 3     -   2 x 4     +   4 x 5 -     3 x 6 = - 1                                                     5 x 3     +   10 x 4 +                 +   15 x 6 = 5 2 x 1   +     6 x 2     +                 +     8 x 4 +   4 x 5   +     18 x 6 = 6

Passo 1

Oi, oi pessoal!

Nessa questão vamos começar montando a matriz aumentada do sistema

A   =   1 3 - 2 0 2 0 |           0 2 6 - 5 - 2 4 - 3 | - 1 0 0 5 10 0 15 |           5 2 6 0 8 4 18 |           6  

Em seguida vamos realizar operações elementares em suas linhas, desse jeito:

1 3 - 2 0 2 0 |           0 2 6 - 5 - 2 4 - 3 | - 1 0 0 5 10 0 15 |           5 2 6 0 8 4 18 |           6   → L 2 - 2 L 1 → L 2 1 3 - 2 0 2 0 |           0 0 0 - 1 - 2 0 - 3 | - 1 0 0 5 10 0 15 |           5 2 6 0 8 4 18 |           6   → L 4 - 2 L 1 → L 4

1 3 - 2 0 2 0 |           0 0 0 - 1 - 2 0 - 3 | - 1 0 0 5 10 0 15 |           5 0 0 4 8 0 18 |           6   → L 2 × ( - 1 ) → L 2 1 3 - 2 0 2 0 |           0 0 0 1 2 0 3 |           1 0 0 5 10 0 15 |           5 0 0 4 8 0 18 |           6   → L 3 - 5 L 2 → L 3

1 3 - 2 0 2 0 |           0 0 0 1 2 0 3 |           1 0 0 0 0 0 0 |           0 0 0 4 8 0 18 |           6   → L 4 - 4 L 2 → L 4 1 3 - 2 0 2 0 |           0 0 0 1 2 0 3 |           1 0 0 0 0 0 0 |           0 0 0 0 0 0 6 |           2   → L 4 ↔ L 3

1 3 - 2 0 2 0 |           0 0 0 1 2 0 3 |           1 0 0 0 0 0 6 |           2 0 0 0 0 0 0 |           0   → L 3 × ( 1 6 ) → L 3 1 3 - 2 0 2 0 |           0 0 0 1 2 0 3 |           1 0 0 0 0 0 1 |           1 3 0 0 0 0 0 0 |           0   → L 2 - 3 L 3 → L 2

1 3 - 2 0 2 0 |           0 0 0 1 2 0 0 |           0 0 0 0 0 0 1 |             1 3 0 0 0 0 0 0 |           0   → L 1 + 2 L 2 → L 1 1 3 0 4 2 0 |           0 0 0 1 2 0 0 |           0 0 0 0 0 0 1 |           1 3 0 0 0 0 0 0 |           0  

Quanta matriz hein?

Respira, recupera o fôlego que a gente já está quase terminando. Simbora para o passo 2!

Passo 2

Conseguimos encontrar a matriz escalonada, agora vamos montar o sistema.

1 3 0 4 2 0 |           0 0 0 1 2 0 0 |           0 0 0 0 0 0 1 |           1 3 0 0 0 0 0 0 |           0   → x 1 + 3 x 2 + 4 x 4 + 2 x 5 = 0 x 3 + 2 x 4 = 0 x 6 = 1 3

Pela equação 1 do sistema, observamos que: x 1 = - 3 x 2 - 4 x 4 - 2 x 5

Observando a equação 2, a gente consegue ver que: x 3 = - 2 x 4

E na última equação, temos: x 6 = 1 3

Assim, considerando x 2 = γ , x 4 = β , x 5 = α , a solução geral é dada por:

X =   x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 =   - 3 γ - 4 β - 2 α γ - 2 β β α 1 3 ,   ∀ α ,   β ,   γ   ϵ   R

Resposta

b) X =   - 3 γ - 4 β - 2 α γ - 2 β β α 1 3 ,   ∀ α ,   β ,   γ   ϵ   R