Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas:b) 2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 = 0 - 2 x 1 + 5 x 2 + 2 x 3 = 1 8 x 1 + x 2 + 4 x 3 = - 1

X = - 1 7 - 3 7 α 1 7 - 4 7 α α ,∀ α ∈ R

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 1.2 - Ex. 3b

Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas:

b)

Passo 1

Oi, oi galerinha! Tudo blz?

Assim como fizemos no exercício anterior, vamos primeiro reescrever o sistema na forma de uma matriz aumentada.

Como primeiro pivô escolhemos o elemento , de cara já vemos que é um número diferente de 1, sendo assim vamos multiplicar toda primeira linha por 1/2.

x 1ºlinha → 1ºlinha

↓

Agora vamos zerar os demais elementos presentes na coluna onde está o primeiro pivô.

Podemos fazer isso através das operações:

2 x 1ºlinha + 2ºlinha → ºlinha

3ºlinha – 8 x 1ºlinha → ºlinha

↓

Passo 2

O próximo pivô será o elemento . Como este elemento é o número 7, vamos multiplicar toda segunda linha por .

x 2ºlinha → ºlinha

↓

Para zerar os demais elementos da coluna onde se encontra o segundo pivô, podemos fazer as operações:

7 x 2ºlinha + 3ºlinha → ºlinha

1ºlinha - 2ºlinha → ºlinha

↓

Passo 3

Ops, algo inesperado aconteceu!

Como podemos ver, a terceira linha da matriz teve seus elementos zerados. Isto aconteceu devido ao fato da terceira linha da matriz aumentada inicial, ser um múltiplo da primeira linha. Ou seja, a terceira linha da matriz inicial é linearmente dependente!

Você pode tentar fazer as eliminações dos termos fazendo diferentes operações, mas chegará a este mesmo resultado. Ainda assim podemos reescrever a matriz acima na forma de sistema, obtendo:

Isolando os valores de e de :

Está é a solução do sistema.

Você provavelmente pode ter achado o resultado um pouco entranho, devido aos fatos de e estarem em função da variável , mas este é o resultado padrão, sempre que uma das linhas da matriz aumentada for linearmente dependente (LD).