Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 1.2 - Ex. 3b
Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas:
b)
Passo 1
Oi, oi galerinha! Tudo blz?
Assim como fizemos no exercício anterior, vamos primeiro reescrever o sistema na forma de uma matriz aumentada.
Como primeiro pivô escolhemos o elemento , de cara já vemos que é um número diferente de 1, sendo assim vamos multiplicar toda primeira linha por 1/2.
x 1ºlinha → 1ºlinha
↓
Agora vamos zerar os demais elementos presentes na coluna onde está o primeiro pivô.
Podemos fazer isso através das operações:
2 x 1ºlinha + 2ºlinha → ºlinha
3ºlinha – 8 x 1ºlinha → ºlinha
↓
Passo 2
O próximo pivô será o elemento . Como este elemento é o número 7, vamos multiplicar toda segunda linha por .
x 2ºlinha → ºlinha
↓
Para zerar os demais elementos da coluna onde se encontra o segundo pivô, podemos fazer as operações:
7 x 2ºlinha + 3ºlinha → ºlinha
1ºlinha - 2ºlinha → ºlinha
↓
Passo 3
Ops, algo inesperado aconteceu!
Como podemos ver, a terceira linha da matriz teve seus elementos zerados. Isto aconteceu devido ao fato da terceira linha da matriz aumentada inicial, ser um múltiplo da primeira linha. Ou seja, a terceira linha da matriz inicial é linearmente dependente!
Você pode tentar fazer as eliminações dos termos fazendo diferentes operações, mas chegará a este mesmo resultado. Ainda assim podemos reescrever a matriz acima na forma de sistema, obtendo:
Isolando os valores de e de :
Está é a solução do sistema.
Você provavelmente pode ter achado o resultado um pouco entranho, devido aos fatos de e estarem em função da variável , mas este é o resultado padrão, sempre que uma das linhas da matriz aumentada for linearmente dependente (LD).
Ok! Para simplificar as coisas podemos substituir a variável por um valor qualquer, por exemplo: .
Logo, a solução geral é dada por:
É isso galera, vamos pra letra C?