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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 2.Exercícios Propostos - Ex. 21

Sabendo que os vetores a → , b →   e   c → são l . i . , determine o menor m tal que u → = a → + b → + c → , v → = 4 a → + m b → + c → e w → = b → + m c → sejam l . d . Com esse m , escreva t → = a → - b → - c → como combinação linear de u → , v → e w → .

Passo 1

Fala aeee, pessoal! Tudo bem?

Para que u → , v → e w → sejam l . d precisamos garantir que:

u → = λ v → + β w →

Passo 2

Assim:

a → + b → + c → = λ 4 a → + m b → + c → + β ( b → + m c → )

Igualando as parcelas cujos vetores são iguais:

a → = a → 4 λ → λ = 1 4

b → = b → m λ + β → β = 1 - m 4

c → = c → λ + β m

1 = 1 4 + 1 - m 4 m

Assim:

- m 2 + 4 m - 3 = 0  

Passo 3

As raízes da equação serão:

m 1 = - 4 + 2 - 2 = 1

m 2 = - 4 - 2 - 2 = 3

Portanto, o menor valor de m será:

m = 1 .

Passo 4

Para m = 1 , temos:

w → = b → + c →

v → = 4 a → + w →

u → = a → + w →

Substituindo em t → :

t → = 1 - 4 k u → + k v → + - 2 + 3 k w →

Resposta

m = 1

t → = 1 - 4 k u → + k v → + - 2 + 3 k w →

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