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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Exercícios Adicionais.2 - Ex. 59

São dadas as bases E = ( e 1 → , e 2 → , e 3 → ) , F = ( f 1 → , f 2 → , f 3 → ) e G = ( g 1 → , g 2 → , g 3 → ) com f 1 → = ( 1,1 , 1 ) E , f 2 → = ( 1,1 , 0 ) E e f 3 → = ( 1,0 , 0 ) E , g 1 → = ( 0,0 , 1 ) F , g 2 → = ( 0,1 , 1 ) F e g 3 → = ( 1,1 , 1 ) F . Resolva a equação ( 1,2 , 1 ) E + ( 1,2 , 3 ) G = ( a , b , c ) F .

Passo 1

Galerinha, para resolver ( 1,2 , 1 ) E + ( 1,2 , 3 ) G = ( a , b , c ) F , temos que escrever tudo numa base só porque aí podemos comparar os vetores. Como a base F já está escrito em termos da base E , vamos trabalhar na base E . Assim, temos que reescrever os vetores da base G :

g 1 → = ( 0,0 , 1 ) F = 0 ⋅ ( 1,1 , 1 ) E + 0 ⋅ ( 1,1 , 0 ) E + 1 ⋅ ( 1,0 , 0 ) E = ( 1,0 , 0 ) E

g 2 → = ( 0,1 , 1 ) F = 0 ⋅ ( 1,1 , 1 ) E + 1 ⋅ ( 1,1 , 0 ) E + 1 ⋅ ( 1,0 , 0 ) E = ( 2,1 , 0 ) E

g 3 → = ( 1,1 , 1 ) F = 1 ⋅ ( 1,1 , 1 ) E + 1 ⋅ ( 1,1 , 0 ) E + 1 ⋅ ( 1,0 , 0 ) E = ( 3,2 , 1 ) E

Agora, vamos reescrever os vetores que estão nas bases F e G :

( a , b , c ) F = a f 1 → + b f 2 → + c f 3 → = a ( 1,1 , 1 ) E + b ( 1,1 , 0 ) E + c ( 1,0 , 0 ) E = ( a + b + c , a + b , a ) E

( 1,2 , 3 ) G = g 1 → + 2 g 2 → + 3 g 3 → = ( 1,0 , 0 ) E + 2 ( 2,1 , 0 ) E + 3 ( 3,2 , 1 ) E = ( 14,8 , 3 ) E

Passo 2

Beleza, agora só precisamos usar os resultados do passo anterior para resolver

( 1,2 , 1 ) E + ( 1,2 , 3 ) G = ( a , b , c ) F

⇒ ( 1,2 , 1 ) E + ( 14,8 , 3 ) E = ( a + b + c , a + b , a ) E

⇒ ( 15,10,4 ) E = ( a + b + c , a + b , a ) E

Assim, obtemos o sistema de equações:

a + b + c = 15

a + b = 10

a = 4

Substituindo a = 4 na segunda equação, obtemos b . Depois substituímos a e b na primeira equação para obter c :

a + b = 10 ⇒ 4 + b = 10 ⇒ b = 6

a + b + c = 15 ⇒ 4 + 6 + c = 15 ⇒ c = 5

Logo,

( a , b , c ) F = ( 4,6 , 5 ) F

Resposta

( a , b , c ) F = ( 4,6 , 5 ) F