Fala, pessoal! Essa questão vai ser um pouquinho longa mas não se preocupa que vai ser sucesso.

1. Caso vocês não lembrem, existe uma forma bem simples de calcular essa área. Basta usar a fórmula:

Então, temos que calcular os vetores

Calculando :

Então, temos o seguinte módulo

Logo,

Passo 2

2. Você deve estar agora se perguntando que fórmula utilizar para obter a distância de à reta . Na verdade, se usarmos o comprimento de como base do triângulo, então a altura vai ser justamente a distância que queremos e área do triângulo será metade da multiplicação de por , ou seja

Já calculamos a área no item anterior. Então só precisamos do vetor

Assim,

Agora, substituímos esse resultado na distância:

Bem mais simples, não é mesmo?

Passo 3

3. Para obter um vetor perpendicular ao plano , basta calcularmos o produto vetorial, ou , ou . Como já calculamos e o resultado foi podemos ver que esse vetor é . Então, é um vetor perpendicular ao plano .

Passo 4

4. Precisamos de um vetor que saia perpendicularmente da reta e passe pelo vértice . Por outro lado, o vetor é uma combinação linear do vetor que queremos descobrir e de , na seguinte forma:

Como deve ser ortogonal a , então vamos tomar o produto escalar da equação acima por . Assim, temos

onde vamos fazer por partes para facilitar as contas. Lembrando que e que :

Assim,

Por outro lado, podemos isolar ou seja:

Como queremos apenas o vetor que dá a direção, precisamos apenas saber que esse vetor será múltiplo .