São dados os pontos A = ( 1,1 , 1 ) , B = ( 1 , - 2,4 ) , C = ( - 1,7 , - 4 ) e D = ( 3,1 , 0 ) .

  1. O ponto P é colinear com A e B . Ele também é colinear com C e D . Quais são as coordenadas de P ?
  2. Os pontos A , B , C e D são coplanares?

● Justifique sua resposta usando vetores.

● Justifique sua resposta usando argumentos da Geometria.

Passo 1

  1. Galera, P = ( x , y , z ) ser colinear com A e B significa que A P → = α A B → . Como
  2. A B → = B - A = ( 1 , - 2,4 ) - ( 1,1 , 1 ) = ( 0 , - 3,3 )

    A P → = P - A = ( x , y , z ) - ( 1,1 , 1 ) = ( x - 1 , y - 1 , z - 1 )

    Então,

    A P → = α A B →

    ⇒ α ( 0 , - 3,3 ) = ( x - 1 , y - 1 , z - 1 )

    ⇒ z - 1 = 1 - y = 3 α ,   x = 1 ⇒ z = 2 - y

    Por enquanto temos, P = ( x , y , z ) = ( 1 , y , 2 - y ) . Podemos seguir o mesmo procedimento com C e D :

    C D → = D - C = ( 3,1 , 0 ) - ( - 1,7 , - 4 ) = ( 4 , - 6,4 )

    C P → = P - C = ( 1 , y , 2 - y ) - ( - 1,7 , - 4 ) = ( 2 , y - 7 , y + 6 )

    Assim,

    C P → = β C D →   = β ( 4 , - 6,4 ) = ( 2 , y - 7 , y + 6 )

    Com isso, obtemos as seguintes equações:

    4 β = 2 ⇒ β = 1 2

    y - 7 = - 6 β = - 3 ⇒ y = - 3 + 7 = 4

    Finalmente, obtemos P = ( 1 , y , 2 - y ) = ( 1,4 , - 2 )

    Passo 2

  3. Uma forma de verificar que A , B , C e D são coplanares é calcular o produto misto de A B → , B C → e C D → . Se o resultado for zero, quer dizer que todos esses vetores estão num mesmo plano e os pontos são A , B , C e D coplanares. Já temos A B → e A B → , falta calcular B C → :

B C → = C - B = ( - 1,7 , - 4 ) - ( 1 , - 2,4 ) = ( - 2,9 , - 8 )

Agora, vamos calcular o produto misto:

[ A B → , B C → , C D → ] =

⎜             0                 - 3                       3       ⎜

⎜             4                 - 6                       4       ⎜ = 0 ⋅ ( 48 - 36 ) - ( - 3 ) ⋅ ( - 32 + 8 ) + 3 ⋅ ( 36 - 12 )

⎜ -   2                       9               - 8     ⎜

[ A B → , B C → , C D → ] = 0 - 72 + 72 = 0

Com isso, confirmamos que A , B , C e D são coplanares.

Resposta

  1. P = ( 1,4 , - 2 )
  2. Sim