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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Exercícios Adicionais.6 - Ex. 156

São dados os pontos A = ( 1,2 , 5 ) e B = ( 3,1 , 0 ) .

  1. Calcule a distância do ponto P = ( 2,0 , - 1 ) à reta A B .
  2. Ache as coordenadas do ponto P ' , simétrico de P em relação à reta A B .

Passo 1

  1. A reta A B é dada por:

    2. A B → = B - A = ( 3,1 , 0 ) - ( 1,2 , 5 ) = ( 2 , - 1 , - 5 )

    Tomando o ponto A = ( 1,2 , 5 ) como ponto inicial da reta A B e o vetor diretor sendo no mesmo sentido do vetor A B → . Temos

    A B {   ( 1,2 , 5 ) + t ( 2 , - 1 , - 5 )   =   ( 1 + 2 t , 2 - t , 5 - 5 t )

    Pronto, agora podemos calcular a distância do ponto P = ( 2,0 , - 1 ) à reta A B . Para isso, vamos pegar um ponto Q pertencente à reta A B e localizar um vetor P Q → cujo módulo nos dará a distância desejada.

    P Q → = Q - ( 2,0 , - 1 ) = ( 1 + 2 t , 2 - t , 5 - 5 t ) - ( 2,0 , - 1 )

    ⇒ P Q → =   ( - 1 + 2 t ,   2 - t , 6 - 5 t )

    Pra finalizar, precisamos achar qual o valor de t esse vetor é ortogonal à reta. Para isso, temos que

    P Q → ⋅ A B →   = 0  

    ⇒   ( - 1 + 2 t ,   2 - t , 6 - 5 t ) ⋅ ( 2 , - 1 , - 5 )   = 0

    ⇒   - 2 + 4 t   - 2 + t   - 30 + 25 t   = 0

    ⇒   30 t   = 34

    ⇒   t   = 34 30

    Assim, a distância d ( P ,   A B ) , em t   = 34 30 será:

    d ( P ,   A B ) = | P Q → | = | ( - 1 +   68 30 ,   2 - 34 30 ,   6 - 34 6 ) |

    d ( P ,   A B )   = | ( 38 30 ,   26 30 ,   10 30 ) | = 3 8 2 + 2 6 2 + 1 0 2 900 = 2220 900   =   37 15

    Além disso, ficamos

    Q = ( 1 + 2 t , 2 - t , 5 - 5 t ) = ( 98 30 , 26 30 , - 20 30 )

    P Q → = ( 38 30 ,   26 30 ,   10 30 ) = 1 30 ( 38,26,10 )

    Isso vai ser útil no próximo item

    Passo 2

  2. Esse ponto simétrico está contido na reta P Q , dada por

P Q :   x = 2 + 38 30 m ,   y = 26 30 m ,   z = - 1 + 10 30 m

onde usamos P = ( 2,0 , - 1 ) como ponto inicial e 1 30 ( 38,26,10 ) sendo o vetor diretor.

Se a gente prestar bem atenção, dá para ver que com m = 0 , obtemos o ponto P = ( 2,0 , - 1 ) e com m = 1 , obtemos

Q = ( 98 30 , 26 30 , - 20 30 ) .

Então, por simetria, m = 2 deve dar o ponto que queremos

P ' ( 2 + 38 15 , 26 15 , - 1 + 10 15 ) = ( 68 15 , 26 15 , - 5 15 )

Até mais, pessoal!

Resposta

  1. 37 15 ;
  2. ( 68 15 , 26 15 , - 5 15 ) .