Se a e b são inteiros primos entre si, demonstre que mdc(2a + b, a + 2b) = 1 ou 3

Passo 1

Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!

Vamos relembrar o conceito de primos, se dois números são primos entre si, então m d c a , b = 1 . Pelo algoritmo do mdc do bom e velho Euclides,

m d c a , b = m d c a , b - c ⋅ a ,   c = m d c ( a ,   b )

Então podemos escrever

m d c 2 a + b ,   a + 2 b = m d c ( 2 a + b , a + 2 b - 2 a - b )

= m d c 2 a + b , b - a

Aplicando o algoritmo do Euclides novamente, mas agora mudando a ordem do mdc para não termos número negativo,

= m d c b - a , 2 a + b - b + a = m d c b - a , 3 a

Então, m d c 2 a + b , a + 2 b = m d c ( b - a , 3 a ) .

Se 3 | b - a , então m d c 2 a + b , a + 2 b = 3 , mas se 3 não for divisível, então m d c 2 a + b ,   a + 2 b = 1 .

⇒ a b | c d 2

Resposta

Demonstração