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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 1.2 - Ex. 7d

Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ?

d. ( 1 ,   1 ,   0 ,   0 ) , ( 1 ,   2 ,   - 1 ,   1 ) , ( 0 ,   0 ,   1 ,   1 ) , ( 2 ,   1 ,   2 ,   2 ) ;

Passo 1

Fala galera, tudo certo?

Queremos verificar se o conjunto de vetores geram o R 4 , para isso basta saber se o conjunto de vetores são linearmente independentes ou linearmente dependente, em outras palavras se o colocarmos os vetores em uma matriz e calcularmos o determinante e der 0 , então o sistema é linearmente dependente, isto é, possui uma linha ou uma coluna múltipla da outra ou ainda se escalonarmos a matriz obtermos uma linha ou uma coluna com zeros, assim o conjunto de vetores não geram o espaço. Caso o determinante for diferente de zero ou uma linha ou coluna não se anula temos que os vetores são linearmente independentes entre si ou seja geram o espaço.

Vamos colocar os vetores em uma matriz e escalona-la.

W = 1 1 0 2 1 2 0 1 0 - 1 1 2 0 1 1 2

Agora, escalonando a matriz W obtemos

W ' = 1 1 0 2 0 1 0 - 1 0 0 1 1 0 0 0 2

Dessa forma, os vetores do conjunto W são linearmente dependentes, ou seja, o conjunto de vetores geram o R 4 .

Resposta

O conjunto W = ( 1 ,   1 ,   0 ,   0 ) , ( 1 ,   2 ,   - 1 ,   1 ) , ( 0 ,   0 ,   1 ,   1 ) , ( 2 ,   1 ,   2 ,   2 ) gera o R 4 .

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