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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.1 - Ex. 3c

Quais dos seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes? (c) {(1,1,1), (2,3,1), (3,1,2)}

Passo 1

Iae, meus queridos! Td certinho??

A questão nos pediu para calcular se o conjunto de vetores {(1,1,1), (2,3,1), (3,1,2)} são linearmente dependentes ou linearmente independentes. Vamos lá!

a 1,1 , 1 + b 2,3 , 1 + c ( 3,1 , 2 ) = ( 0,0 , 0 )

Passando para matrizes:

1 2 3 1 3 1 1 1 2 a b c = 0 0 0

ou

1 2 3 1 3 1 1 1 2 0 0 0

Ou seja, escalonando essa matriz, se admitir uma solução não trivial os vetores são L.D., já se admitirem uma solução trivial os vetores são L.I. 😉

Escalonando a matriz.

1 2 3 1 3 1 1 1 2 0 0 0 L 2 ⇒ L 2 - L 1 L 3 ⇒ L 3 - L 1

1 2 3 0 1 - 2 0 - 1 - 1 0 0 0 L 1 ⇒ L 1 - 2 L 2 L 3 ⇒ L 3 + L 2

1 0 7 0 1 - 2 0 0 - 3 0 0 0 L 3 ⇒ L 3 / - 3

1 0 7 0 1 - 2 0 0 1 0 0 0 L 1 ⇒ L 1 - 7 L 3 L 2 ⇒ L 2 + 2 L 3

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

Vemos que conseguimos escalonar a matriz da esquerda e deixa-la na forma escada, portanto, são linearmente independentes.

Entendeu tudo? Bora pra mais uma?!

Resposta

São L.i.