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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.1 - Ex. 3a

Quais dos seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes? (a )   { ( 1,1 , 2 ) ,   ( 1,0 , 0 ) ,   ( 4,6 , 12 ) } .

Passo 1

Iae, meus queridos! Td certinho??

A questão nos pediu para calcular se o conjunto de vetores { ( 1,1 , 2 ) ,   ( 1,0 , 0 ) ,   ( 4,6 , 12 ) } são linearmente dependentes ou linearmente independentes. Vamos lá!

a 1,1 , 2 + b 1,0 , 0 + c 4,6 , 12 = ( 0,0 , 0 )

Passando para matrizes:

1 1 4 1 0 6 2 0 12 a b c = 0 0 0

ou

1 1 4 1 0 6 2 0 12 0 0 0

Ou seja, escalonando essa matriz, se admitir uma solução não trivial os vetores são L.D., já se admitirem uma solução trivial os vetores são L.I. 😉

Escalonando a matriz.

1 1 4 1 0 6 2 0 12 0 0 0 L 2 ⇒ L 2 - L 1 L 3 = L 3 - 2 L 1

1 1 4 0 - 1 2 0 - 2 4 0 0 0 L 2 ⇒ - L 2

1 1 4 0 1 - 2 0 - 2 4 0 0 0 L 1 ⇒ L 1 - L 2 L 3 ⇒ L 3 + 2 L 2

1 0 6 0 1 - 2 0 0 0 0 0 0

Vemos que o terceiro vetor é combinação linear do primeiro e do segundo vetor, portanto, são L.D. (admite solução não trivial).

Entendeu tudo? Bora pra mais uma?!

Resposta

São L.D.