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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 2.Exercícios Propostos - Ex. 26a

Seja B = (vec u_1 , vec u_2 , vec u_3) uma base de V . (a)Demonstre que C = (vec v_1 , vec v_2 , vec v_3) , com vec v_1 = vec u_1 + 2 vec u_2 + vec u_3 , vec v_2 = vec u_1 - vec u_2 - vec u_3 e vec v_3 = 2 vec u_1 + vec u_2 + 4 vec u_3 , é base de V^3 .

Passo 1

Fala aeee, pessoal! Tudo bem?

Os vetores vec u_1 , vec u_2 e vec u_3 são do tipo:

vec u_1 = ( 1,0 , 0 )

vec u_2 = ( 0,1 , 0 )

vec u_3 = ( 0,0 , 1 )

Assim, os vetores vec v_1 , vec v_2 e vec v_3 são:

vec v_1 = vec u_1 + 2 vec u_2 + vec u_3 = ( 1,2 , 1 )

vec v_2 = vec u_1 - vec u_2 - vec u_3 = ( 1 , - 1 , - 1 )

vec v_3 = 2 vec u_1 + vec u_2 + 4 vec u_3 = ( 2,1 , 4 )

Passo 2

Logo,

C = {(1,2 , 1) , (1 , - 1 , - 1) , ( 2,1 , 4 )}

Para que C seja base de V^3 precisamos que:

d e t ( C ) != 0

Passo 3

Portanto, resolvendo o determinante:

[[[1,2,1],[1,-,1,-,1],[2,1,4]]] = - 4 - 4 + 1 - (- 2 - 1 + 8) = - 12

- 12 != 0

C é uma base de V^3 .

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o .

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Seja E = e → 1 , e → 2 , e → 3 uma base . Sejam f 1 → = e → 1 - e → 2 + e → 3 , f 2 → = e → 2 + e → 3 e f 3 → = - 2 e → 3 (a)Mostre que F = ( f 1 → , f 2 , → f 3 → ) também é uma base.
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Seja E = e → 1 , e → 2 , e → 3 uma base . Sejam f 1 → = e → 1 - e → 2 + e → 3 , f 2 → = e → 2 + e → 3 e f 3 → = - 2 e → 3 (c)Determine na base F as coordenadas de v → = 1,2 , - 1 E .