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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 2.Exercícios Propostos - Ex. 26a

Seja B = u → 1 , u → 2 , u → 3 uma base de V . (a)Demonstre que C = v → 1 , v → 2 , v → 3 , com v → 1 = u → 1 + 2 u → 2 + u → 3 , v → 2 = u → 1 - u → 2 - u → 3   e   v → 3 = 2 u → 1 + u → 2 + 4 u → 3 , é base de V 3 .

Passo 1

Fala aeee, pessoal! Tudo bem?

Os vetores u → 1 , u → 2 e u → 3 são do tipo:

u → 1 = ( 1,0 , 0 )

u → 2 = ( 0,1 , 0 )

u → 3 = ( 0,0 , 1 )

Assim, os vetores v → 1 , v → 2 e v → 3 são:

v → 1 = u → 1 + 2 u → 2 + u → 3 = ( 1,2 , 1 )

v → 2 = u → 1 - u → 2 - u → 3 = ( 1 , - 1 , - 1 )

v → 3 = 2 u → 1 + u → 2 + 4 u → 3 = ( 2,1 , 4 )

Passo 2

Logo,

C = 1,2 , 1 , 1 , - 1 , - 1 , ( 2,1 , 4 )

Para que C seja base de V 3 precisamos que:

d e t ⁡ ( C ) ≠ 0

Passo 3

Portanto, resolvendo o determinante:

1 2 1 1 - 1 - 1 2 1 4 = - 4 - 4 + 1 - - 2 - 1 + 8 = - 12

- 12 ≠ 0

C é uma base de V 3 .

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o .