Seja C o conjunto dos números complexos e sejam x = a + bi e y = c + di dois elementos de C. Considere a relação R sobre C definida por:

x R y   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   a   ≤   c   e   b   ≤   d .  

  1. Mostre que R é uma relação de ordem parcial sobre C.
  2. Assinale no plano Argand-Gauss o conjunto A dos complexos z tais que zR(1 + 2i) e o conjunto B dos complexos z tais que (1 + 2i)Rz.
  3. Decida: C é totalmente ordenado por R?

Passo 1

Fala minha galera, bora fazer mais um exercício maravilhoso da matemática discreta!

  1. Dessa vez precisamos saber se ela é reflexiva, antissimétrica e transitiva para que a relação seja de ordem parcial, então bora lá!
  2. Já podemos concluir de cara que a relação é reflexiva pois dado x ,   y ∈ C com x e y tal como descrito no enunciado, então:

    x R x ,   p o i s   a ≤ a   e   b ≤ b

    Supondo agora que x R y então y R x , temos que as seguintes relações são válidas:

    a ≤ c   e   b ≤ d ,   p a r a   x R y

    c ≤ a   e   d ≤ b   p a r a   y R x

    Mas isso só pode existir se a = c e b = d, logo ela é antissimétrica, pois x = y somente em um caso.

    E a transitividade é atestada com o um y R z tal que z = f + g i ∈ C , assim:

    a ≤ c   e   b ≤ d ,   p a r a   x R y

    c ≤ f   e   d ≤ g   p a r a   y R z

    Dessa forma, a ≤ f e, analogamente, b ≤ g , implicando que x R z . Dessa forma concluímos que a relação é de ordem parcial.

    Passo 2

  3. Vamos nessa fazer uma figura utilizando o Geogebra! Como temos pela definição dada no problema, tendo z ∈ A tal que z = w + h i , então w ≤ 1 e h ≤ 2 para o primeiro caso e para o segundo caso 1 ≤ w e 2 ≤ h . Agora vamos plotar as figuras sendo o conjunto dos vetores com origem e (0,0), A = < x , y > ∈ C x ≤ 1   e   y ≤ 2 e o conjunto B = < x , y > ∈ C 1 ≤ x   e   2 ≤ y .
  4. Em A:Em B:

    Passo 3

  5. Para que C seja totalmente ordenado por R, x R y ou y R x , visto isso temos duas hipóteses:
  • a ≤ c   e   b ≤ d ,   p a r a   x R y
  • c ≤ a   e   d ≤ b   p a r a   y R x

E é muito simples contrariar, basta que existam x e y tal que

a < c   e   d < b

Particularmente, podemos pensar em x = 1 + 4 i   e   y = 2 + 3 i , ou seja, existem dois números tal que a relação não exista. Portanto R não pode ser totalmente ordenado.

Resposta

  1. Demonstração
  2. Não é totalmente ordenado.