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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 2.2 - Ex. 3a

Seja A = a i j 3 × 3 tal que d e t ⁡ ( A ) = 3 . Calcule o determinante das matrizes a seguir:

a) a 11 a 12 a 13 + a 12 a 21 a 22 a 23 + a 22 a 31 a 32 a 33 + a 32

Passo 1

Oi oi gente, tudo blz?

Primeiro de tudo vamos chamar essa matriz de B para ficar mais fácil de nos referirmos a ela.

Antes de calcularmos o determinante da dessa matriz, vamos calcular o determinante de A, pois futuramente pode ser útil para substituirmos.

det ⁡ A =   a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 =

= a 11 ∙ a 22 ∙ a 33 + a 12 ∙ a 23 ∙ a 31 + a 1 3 ∙ a 2 1 ∙ a 32 - a 13 ∙ a 22 ∙ a 31 - a 11 ∙ a 23 ∙ a 32 - a 12 ∙ a 21 ∙ a 33

Passo 2

Ok! Achado o d e t ( A ) vamos calcular o determinante aplicando a regra de Sarrus, primeiro calculando o valor da soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e subtraindo-o com o valor da soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.

det ⁡ B =   a 11 a 12 a 13 + a 12 a 21 a 22 a 23 + a 22 a 31 a 32 a 33 + a 32 =

= a 11 ∙ a 22 ∙ a 33 + a 32 + a 12 ∙ a 31 ∙ a 23 + a 22 + a 21 ∙ a 32 ∙ a 13 + a 12  

- a 31 ∙ a 22 ∙ a 13 + a 12 - a 32 ∙ a 11 ∙ a 23 + a 22 - a 21 ∙ a 12 ∙ a 33 + a 32

= a 11 ∙ a 22 ∙ a 33 +   a 11 ∙ a 22 ∙ a 32 + a 12 ∙ a 23 ∙ a 31 + a 12 ∙ a 22 ∙ a 31 +   a 13 ∙ a 21 ∙ a 32 + a 12 ∙ a 21 ∙ a 32  

- a 13 ∙ a 22 ∙ a 31 - a 12 ∙ a 22 ∙ a 31 - a 11 ∙ a 23 ∙ a 32 - a 11 ∙ a 22 ∙ a 32 - a 12 ∙ a 21 ∙ a 33 - a 12 ∙ a 21 ∙ a 3 2

Galera, a partir daqui conseguimos perceber que existem alguns termos parecidos com aqueles que temos no d e t A   . Podemos agrupar esses termos para ver se conseguimos substituir pelo determinante da matriz A, cujo valor é conhecido.

a 11 ∙ a 22 ∙ a 33 + a 12 ∙ a 23 ∙ a 31 + a 13 ∙ a 21 ∙ a 32 - a 13 ∙ a 22 ∙ a 31 - a 11 ∙ a 23 ∙ a 32 - a 12 ∙ a 21 ∙ a 33 ⏟ d e t ⁡ ( A )

a 11 ∙ a 22 ∙ a 32 + a 12 ∙ a 22 ∙ a 31 + a 12 ∙ a 21 ∙ a 32 - a 12 ∙ a 22 ∙ a 31 - a 11 ∙ a 22 ∙ a 32 - a 12 ∙ a 21 ∙ a 3 2 ⏟ 0

Perceba que ao agrupar o resultado, encontramos os termos que formam o determinante da matriz A e os demais termos se anulam, pois são simétricos. Assim, obtemos como resposta:

det ⁡ A + 0 = 3

Resposta

3