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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 2.2 - Ex. 3b

Seja A = a i j 3 × 3 tal que d e t ⁡ ( A ) = 3 . Calcule o determinante das matrizes a seguir:

a) a 11 + a 1 2 a 11 - a 12 a 13 a 21 + a 22 a 2 1 - a 22 a 23 a 31 + a 32 a 3 1 - a 32 a 33

Passo 1

E aí pessoal! Tudo blz?

Primeiro, vamos chamar essa matriz de B para ficar mais fácil de nos referirmos a ela.

Antes de calcularmos o determinante da dessa matriz, vamos calcular o determinante de A, pois futuramente pode ser útil para substituirmos.

det ⁡ A =   a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 =

= a 11 ∙ a 22 ∙ a 33 + a 12 ∙ a 23 ∙ a 31 + a 13 ∙ a 21 ∙ a 32 - a 13 ∙ a 22 ∙ a 31 - a 11 ∙ a 23 ∙ a 32 - a 12 ∙ a 21 ∙ a 33

Passo 2

Ok! Agora vamos calcular o determinante de B aplicando a regra de Sarrus.

det ⁡ B =   a 11 + a 12 a 11 - a 12 a 13 a 21 + a 22 a 21 - a 22 a 23 a 31 + a 32 a 31 - a 32 a 33 =

= a 11 + a 12 ∙ ( a 21 - a 22 ) ∙ a 33 + a 11 - a 12 ∙ a 31 + a 32 ∙ a 31 + a 21 + a 22   ∙ ( a 31 - a 32 ) ∙ a 1 3

- a 31 + a 32   ∙ ( a 21 - a 22 ) ∙ a 13 - a 11 + a 12   ∙ ( a 31 - a 32 ) ∙ a 2 3 - a 11 - a 12   ∙ ( a 21 + a 22 ) ∙ a 3 3

= 2 a 12 a 21 a 33 - 2 a 12 a 2 3 a 31 - 2 a 1 3 a 21 a 32 + 2 a 1 1 a 23 a 32 - 2 a 1 1 a 2 2 a 33 + 2 a 1 3 a 2 2 a 31

Galera, assim como na letra A dessa questão, conseguimos perceber que existem alguns termos parecidos com aqueles que temos no d e t A   . Então, vamos agrupar esses termos para ver se conseguimos substituir pelo determinante da matriz A, cujo valor é conhecido.

- 2 a 11 a 22 a 33 - 2 a 12 a 23 a 31 - 2 a 13 a 21 a 32 + 2 a 13 a 22 a 31 + 2 a 11 a 23 a 32 + 2 a 12 a 21 a 33

Os termos são parecidos com os termos do d e t ⁡ ( A ) , mas os coeficientes não. Vamos colocar os coeficientes em evidência, para ver se conseguimos substituir pelo valor do determinante de A.

( - 2 ) ( a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 - a 13 a 22 a 31 - a 11 a 23 a 32 - a 12 a 21 a 33 )

Bingo! O determinante da matriz B é dado pelo produto do determinante da matriz A por - 2

Assim, obtemos como resposta:

- 2 ∙ det ⁡ A = - 6

É isso galera, vejo vocês na próxima resolução. Adios!

Resposta

- 6

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Mostre que se uma matriz A =( a i j ) n x n é triangular superior, (isto é, os elementos situados abaixo da diagonal são iguais a zero) então det ⁡ ( A ) =a 11 a 22 … a n n .
Seja A = ( a i j ) 3 x 3 tal que det(A) = 3. Calcule o determinante das matrizes a seguir: a 11 a 12 a 13 + a 12 a 21 a 22 a 23 + a 22 a 31 a 32 a 33 + a 32
Mostre que se A = a b c d , então det(A) = 0 se, e somente se, uma linha é múltiplo escalar da outra. E se A for uma matriz nxn?
Mostre que A, nxn, é invertível se, e somente se, A t A é invertível.
Mostre que se α é um escalar e A é uma matriz nxn, então det ⁡ α A =α n det ⁡ ( A ) .