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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 4.3 - Ex. 3

Sejam r 1 : (x, y, z) = (1, 0, 2) + (2t, t, 3t) e r 2 : (x, y, z) = (0, 1, −1) + (t, mt, 2mt) duas retas.

(a) Determine m para que as retas sejam coplanares (não sejam reversas).

(b) Para o valor de m encontrado, determine a posição relativa entre r 1   e   r 2 .

(c) Determine a equação do plano determinado por r 1   e   r 2 .

Passo 1

E aí, beleza?

  1. Para que as retas sem coplanares, precisamos que os vetores sejam LD.

    2. Vamos utilizar os vetores diretores das retas e outro vetor que faremos com os pontos 1,0 , 2 e   ( 0,1 , - 1 ) das retas:

    v 3 → = ( - 1,1 , - 3 )

    v 1 → = ( 2,1 , 3 )

    v 2 → = ( 1 , m , 2 m )

    O determinante da matriz formada por esses vetores deve ser igual a zero:

    - 1 1 - 3 2 1 3 1 m 2 m =   - 9 m + 6

    - 9 m + 6 = 0

    m = 2 3

    Então, para m = 2 3 , as retas são coplanares.

    Passo 2

  2. Para m = 2 3 , temos os vetores:

    3. 2,1 , 3   e   1 , 2 3 , 4 3

    Esses vetores não são múltiplos, portanto, as retas não paralelas nem coincidentes, sendo então concorrentes.

    Passo 3

  3. O plano é paralelo aos vetores 2,1 , 3   e   1 , 2 3 , 4 3

Portanto, para encontrarmos o vetor normal, podemos fazer o produto vetorial entre eles:

i j k 2 1 3 1 2 3 4 3 =   - 2 3 i + 1 3 j + 1 3 k

O plano então é da forma:

- 2 3 x + 1 3 y + 1 3 z + d = 0

- 2 x + y + z + d = 0

2 x - y - z - d = 0

Substituindo um ponto qualquer da reta, como ( 1,0 , 2 ) :

- 2 + 0 + 2 + d = 0

d = 0

A equação do plano então é:

2 x - y - z = 0

Resposta

  1. m = 2 3
  2. Concorrentes.
  3. 2 x - y - z = 0

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