Enunciado

Sejam A , B ∈ M m k matrizes invertíveis. Mostre que:

a) det ⁡ ( A - 1 ) = det ⁡ A - 1 .

b) A - 1 é invertível e A - 1 - 1 = A

c) A . B é inverível e A . B - 1 = B - 1 . A - 1 .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão seja A , B ∈ M m k matrizes invertíveis. Mostre que:

a) det ⁡ ( A - 1 ) = det ⁡ A - 1 .

b) A - 1 é invertível e A - 1 - 1 = A

c) A . B é inverível e A . B - 1 = B - 1 . A - 1 .

Só acredita e vem comigo blz.

Passo 2

Dado A , B ∈ M n k , temos na letra (a)

det ⁡ ( A - 1 ) = det ⁡ A - 1

Ficando,

det ⁡ ( A - 1 ) = ∑ j = 1 n - 1 j + 1   a i j . det ⁡ A i j

det ⁡ ( A - 1 ) = ( det ⁡ A ) - 1

Na letra (b) para,

A - 1 invertível em A - 1 - 1 = A , temos

A - 1 = A → 1 A - 1 = A

Na letra ( c ) para ,

A . B invertível em A . B - 1 = B - 1 . A - 1 , temos

1 A B = B - 1 . A - 1 , sendo

A . B - 1 = B - 1 . A - 1

Então e isso chegamos ao fim dessa questão, espero ter te ajudado.

Até a próxima.

Resposta

a) det ⁡ ( A - 1 ) = ( det ⁡ A ) - 1

b) 1 A - 1 = A

c) A . B - 1 = B - 1 . A - 1