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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 19b

(b)Sejam B e C matrizes m x n , tais B X = C X , para todo X , n x 1 . Mostre que B = C .

Passo 1

Fala ae, galera! Tudo na paz? 😊

O produto entre as matrizes é dado por:

B X = [[[b_11,b_12,...,b_1 n],[b_21,b_22,...,b_2 n],[vdots,vdots,...,vdots],[b_m 1,b_m 2,...,b_m n]]] [[[x_1],[vdots],[x_n]]]

C X = [[[c_11,c_12,...,c_1 n],[c_21,c_22,...,c_2 n],[vdots,vdots,...,vdots],[c_m 1,c_m 2,...,c_m n]]] [[[x_1],[vdots],[x_n]]]

Passo 2

Realizando a multiplicação matricial, temos:

B X = [[[b_11,x_1,+,...,+,b_1 n,x_n],[b_21,x_1,+,...,+,b_2 n,x_n],[vdots],[b_m 1,x_1,+,...,+,b_m n,x_n]]] = x_1 B_1 + ... + x_n B_n

C X = [[[c_11,x_1,+,...,+,c_1 n,x_n],[c_21,x_1,+,...,+,c_2 n,x_n],[vdots],[c_m 1,x_1,+,...,+,c_m n,x_n]]] = x_1 C_1 + ... + x_n C_n

Passo 3

Portanto, para x_i != 0 com i = 1 , ... , n . A única maneira da igualdade

B X = C X

x_1 B_1 + ... + x_n B_n = x_1 C_1 + ... + x_n C_n

Ser verdadeira, é se B = C .

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o