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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 17a

Sejam A e B matrizes m   x   p e p   x   n , respectivamente. (a)Mostre que a j -ésima coluna do produto A B é igual ao produto A B j , em que B j = b 1 j ⋮ b p j é a j -ésima coluna de B , ou seja, se B = B 1 … B n , então A B = A B 1 … B n = A B 1 … A B n ;

Passo 1

Fala ae, galera! Tudo na paz? 😊

O produto entre as matrizes é dado por:

A B = a 11 a 12 … a 1 p a 21 a 22 … a 2 p ⋮ ⋮ … ⋮ a m 1 a m 2 … a m p b 11 b 12 … b 1 n b 21 b 22 … b 2 n ⋮ ⋮ … ⋮ b p 1 b p 2 … b p n

Passo 2

Realizando a multiplicação matricial, temos:

A B = a 11 b 11 + a 12 b 21 + … + a 1 p b p 1 a 11 b 12 + a 12 b 22 + … + a 1 p b p 2 … a 11 b 1 n + a 12 b 2 n + … + a 1 p b p n a 21 b 11 + a 22 + b 21 + … + a 2 p b p 1 a 21 b 12 + a 22 b 22 + … + a 2 p b p 2 … a 21 b 1 n + a 22 b 2 n + … + a 2 p b p n ⋮ ⋮ … ⋮ a m 1 b 11 + a m 2 b 21 + … + a m p b p 1 a m 1 b 12 + a m 2 b 22 + … + a m p b p 2 ⋯ a m 1 b 1 n + a m 2 b 2 n + … + a m p b p n

Passo 3

O produto matricial A B j é dado por:

A B j = a 11 a 12 … a 1 p a 21 a 22 … a 2 p ⋮ ⋮ … ⋮ a m 1 a m 2 … a m p b 1 j ⋮ b p j

Realizando a multiplicação matricial, temos:

A B j = a 11 b 1 j + … + a 1 p b p j ⋮ a m 1 b 1 j + … + a m p b p j

Passo 4

Portanto:

A B = A B 1 … B n = A B 1 … A B n

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o