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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 1.3 - Ex. 14

Sejam V 1 , … , V k + 1 vetores de um espaço vetorial V, tais que { V 1 , … , V k } é linearmente independente. Mostre que se V k + 1 não pertence ao subespaço gerado por { V 1 , … , V k } , então V 1 , … , V k + 1 é linearmente independente. (Sugestão: Considere a equação x 1 V 1 + … + x k + 1 V k + 1 = 0 . Separe em dois casos: x k + 1 = 0 e x k + 1 ≠ 0 .)

Passo 1

E aí pessoal, partiu fazer esse exercício?

É um exercício bem chatinho quando você bate o olho, mas vamos ver que não é tão difícil assim. Temos algumas preposições que são dadas no livro que podem ajudar, como a preposição 1.6. Com ela podemos afirmar que é LI. Mas vamos demonstrar.

Passo 2

x 1 V 1 + … + x k + 1 V k + 1 = 0

Usando as duas sugestões do enunciado, temos que em ambos os casos a equação acima só vai ser satisfeita de duas formas.

Ou x k + 1 = 0 ou temos então que V k + 1 = 0

Passo 3

Em ambos os casos temos somente a solução trivial, o que é um claro sinal de independência linear. E como diz a preposição 1.6 ‘’Um subconjunto X não vazio de um espaço vetorial V é linearmente independente se, e somente se, qualquer subconjunto finito de X é linearmente independente’’ e sabemos que o espaço é linearmente independente pelo enunciado.

Ufa, acabou, bora para o próximo?

Resposta

x 1 V 1 + … + x k + 1 V k + 1 = 0

A equação só é satisfeita com coeficientes igual a 0, ou seja pela solução trivial.