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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Exercícios Adicionais.4 - Ex. 117

Sejam A ,   B e C os vértices de um triângulos e P um ponto. Se a →   =   P A → , b →   =   P B → e c →   =   P C → , demonstre que a área do triângulo A B C é 1 2 | a → ∧ b → + b → ∧ c → + c → ∧ a → | .

Passo 1

E aí, galera? Tudo beleza?

Para resolver essa questão, nós vamos começar com a fórmula da área de um triângulo que nós já conhecemos

A = 1 2 | A B → ∧ A C → |

Então, vamos decompor A B → e A C → como somas de vetores passando pelo ponto P :

A B → = A P → + P B →

A C → = A P → + P C →

Assim, vamos substituir esses vetores na fórmula da área, rearranjar os termos e usar as definições a →   =   P A → , b →   =   P B → e c →   =   P C → para obter a fórmula pedida no enunciado:

A = 1 2 | A B → ∧ A C → | = 1 2 | ( A P → + P B → ) ∧ ( A P → + P C → ) |

A = 1 2 | A P → ∧ A P → + A P → ∧ P C → + P B → ∧ A P → + P B → ∧ P C → |

A = 1 2 | 0 → - P A → ∧ P C → - P B → ∧ P A → + P B → ∧ P C → |

A = 1 2 | P C → ∧ P A → + P A → ∧ P B → + P B → ∧ P C → |

A = 1 2 | c → ∧ a → + a → ∧ b → + b → ∧ c → |

Resposta

Veja a resolução acima.