Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 1.3 - Ex. 14

Sejam vetores de um espaço vetorial V, tais que é linearmente independente. Mostre que se não pertence ao subespaço gerado por , então é linearmente independente. (Sugestão: Considere a equação . Separe em dois casos: e .)

Passo 1

E aí pessoal, partiu fazer esse exercício?

É um exercício bem chatinho quando você bate o olho, mas vamos ver que não é tão difícil assim. Temos algumas preposições que são dadas no livro que podem ajudar, como a preposição 1.6. Com ela podemos afirmar que é LI. Mas vamos demonstrar.

Passo 2

Usando as duas sugestões do enunciado, temos que em ambos os casos a equação acima só vai ser satisfeita de duas formas.

Ou ou temos então que

Passo 3

Em ambos os casos temos somente a solução trivial, o que é um claro sinal de independência linear. E como diz a preposição 1.6 ‘’Um subconjunto X não vazio de um espaço vetorial V é linearmente independente se, e somente se, qualquer subconjunto finito de X é linearmente independente’’ e sabemos que o espaço é linearmente independente pelo enunciado.

Ufa, acabou, bora para o próximo?

Resposta

A equação só é satisfeita com coeficientes igual a 0, ou seja pela solução trivial.

Exercícios de Livros Relacionados

Verificar se o subconjunto abaixo é subespaço de M ( 2 ,2 ) . S = a b b c ,a , b , c ∈ R (matrizes simétricas).

Verificar se o subconjunto abaixo é subespaço de M ( 2 ,2 ) . S = a 1 a b ,a , b ∈ R

Expressar o vetor u = - 1 ,4 ,- 4 ,6 ∈ R 4 como combinação linear dos vetores v 1 = ( 3 ,- 3 ,1 ,0 ) , v 2 = ( 0 ,1 ,- 1 ,2 ) e v 3 = ( 1 ,- 1 ,0 ,0 ) .

Verificar se o subconjunto abaixo é subespaço de M ( 2 ,2 ) . S = a a + b a - b b ,a , b ∈ R

Seja o espaço vetorial M ( 2,2 ) e os vetores v 1 = 1 0 1 1 ,v 2 = - 1 20 1 ,v 3 = 0 - 1 2 1 Escrever o vetor v = 1 8 0 5 Como combinação linear dos vetores v 1 , v 2 e v 3 .