No tetraedro O A B C temos ∠ ( O A → , O B → ) = 90 º º , ∠ ( O A → , O C → ) = 60 º º , ∠ ( O C → , O B → ) = 60 º º , O A → = a → , | a → | = 1 , O B → = b → , | b → | = 1 , O C → = c → , | c → | = 1 , x → = a → + 2 b → e y → = b → - c → . Calcule o ângulo entre x → e y → . Passo 1Prontos para mais uma questão, galera? Então vamos lá! Para calcular o ângulo entre x → e y → , precisamos da fórmula c o s θ = x → ⋅ y → | x → | | y | → Vamos calcular cada termo separadamente x → ⋅ y → = ( a → + 2 b → ) ⋅ ( b → - c → ) = 2 | b → | 2 - 2 b → ⋅ c → + a → ⋅ b → - a → ⋅ c → | x → | 2 = x → ⋅ x → = ( a → + 2 b → ) ⋅ ( a → + 2 b → ) = | a → | 2 + 4 a → ⋅ b → + 4 | b → | 2 | y → | 2 = y → ⋅ y → = ( b → - c → ) ⋅ ( b → - c → ) = | b → | 2 - 2 b → ⋅ c → + | c → | 2 Além disso, temos ∠ ( O A → , O B → ) = 90 º º , ∠ ( O A → , O C → ) = 60 º º , ∠ ( O C → , O B → ) = 60 º º , O A → = a → , | a → | = 1 , O B → = b → , | b → | = 1 , O C → = c → , | c → | = 1 ∠ ( a → , b → ) = 90 º ⇒ a → ⋅ b → = 0 º ∠ ( a → , c → ) = 60 º ⇒ c o s ( ∠ ( a → , c → ) ) = a → ⋅ c → | a → | | c | → = 1 2 ⇒ a → ⋅ c → = 1 2 | a → | | c | → = 1 2 º ∠ ( c → , b → ) = 60 º ⇒ b → ⋅ c → = 1 2 | b → | | c | → = 1 2 º Passo 2Voltando aos cálculos anteriores e substituindo esses resultados, obtemos x → ⋅ y → = 2 | b → | 2 - 2 b → ⋅ c → + a → ⋅ b → - a → ⋅ c → = 2 ⋅ 1 - 2 ⋅ 1 2 - 1 2 = 1 2 | x → | 2 = | a → | 2 + 4 a → ⋅ b → + 4 | b → | 2 = 1 + 4 ⋅ 0 + 4 ⋅ 1 = 5 ⇒ | x → | = 5 | y → | 2 = | b → | 2 - 2 b → ⋅ c → + | c → | 2 = 1 - 2 ⋅ 1 2 + 1 = 1 ⇒ | y → | = 1 Finalmente, podemos obter o ângulo c o s θ = x → ⋅ y → | x → | | y | → = 1 2 ⋅ 1 ⋅ 5 = 1 2 5 Resposta c o s θ = 1 2 5 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA