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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 6.Teste de Capítulo - Ex. 2b

Verifique quais das matrizes seguintes são diagonalizáveis:

(b)

⎜   a         -   b       ⎜

⎜   b                     a           ⎜

Passo 1

Fala, galerinha!

Nesse item vamos seguir o mesmo raciocínio do anterior. Só temos que ver se a matriz A tem dois autovalores distintos. Se sim, ela é diagonalizável, beleza? Para calcular os autovalores, usamos

d e t ( A - t I 2 ) = 0 ⇒ ( a - t ) ( a - t ) + b 2 = 0

⇒ t 2 - 2 a t + a 2 + b 2 = 0

⇒ t = 2 a ± 4 a 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ ( a 2 + b 2 ) 2 = 2 a ± - ( 4 b 2 ) 2 = a ± i b

Então, vemos que temos duas raízes diferentes, ou seja, dois autovalores diferentes, t = a + i b e t = a - i b . Com isso, podemos concluir que a matriz é diagonalizável.

Resposta

Diagonalizável.