De um vértice de um cubo traçam-se uma diagonal do cubo e uma diagonal de uma face.

a) Calcule o ângulo entre as duas diagonais.

b) Calcule a área do triângulo definido por estas diagonais e uma aresta do cubo.

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nesta questão ele pede para que a partir de um vértice de um cubo e uma diagonal de uma face encontrando os itens abaixo,

a) Calcule o ângulo entre as duas diagonais.

b) Calcule a área do triângulo definido por estas diagonais e uma aresta do cubo.

Passo 2

Na letra (a) para calcular o ângulo entre as diagonais temos que usar o produto escalar que vale,

A - . B - = A - . B - cos ⁡ θ

Tendo, a - b = 0,0 , a ,     a - d = a , a , a ,   a - c = ( 0 , a , a )

Fazendo o produto escalar entre a c   e     a d ficando,

a - d ⦁ a - c = a - d a - c cos ⁡ θ

a , a , a ⦁ 0 , a , a = a 6   a 2 . cos ⁡ θ

cos ⁡ θ = 6 3

Passo 3

Já na letra (b) calculando a área do triângulo definido pelas diagonais e arestas do cubo vamos ter que,

Antes nos lembrar que para acharmos a área do triângulo devemos saber se sua formula que vale,

A = 1 2 | | A - B   x   A - C | |

A partir daí vamos ter que,

A = 1 2 | | A - B   x   A - C | |

A = 1 2 0,0 , a x a , a , a → 2 a 2 2

Resposta

a) cos ⁡ θ = 6 3

b) 2 a 2 2