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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Exercícios Adicionais.3 - Ex. 65

O vetor x → é ortogonal a u → = ( 1,2 , 1 ) e v → = ( 3,4 , - 1 ) e faz um ângulo obtuso com ( 0,1 , 0 ) . Sendo | x → |   =   14 , determine as coordenadas de x → .

Passo 1

E aí, gente? Preparados para detonar mais uma questão? Então, vem comigo!

Nós temos que determinar um vetor x → = ( a , b , c ) que é ortogonal a u → = ( 1,2 , 1 ) e v → = ( 3,4 , - 1 ) e faz um ângulo obtuso ( 90 º ≤ θ ≤ 180 º ) com ( 0,1 , 0 ) . Além disso, | x → |   =   14 . Essas informações nos dão

x → ⋅ u → = 0 ⇒ ( a , b , c ) ⋅ ( 1,2 , 1 ) = 0 ⇒ a + 2 b + c = 0

x → ⋅ v → = 0 ⇒ ( a , b , c ) ⋅ ( 3,4 , - 1 ) = 0 ⇒ 3 a + 4 b - c = 0

- 1 ≤ c o s α = x → ⋅ u → | x → | ⋅ | u | → ≤ 0 ⇒ - 1 ≤ ( a , b , c ) ⋅ ( 0,1 , 0 ) a 2 + b 2 + c 2 ⋅ 1 ≤ 0

⇒ - 1 ≤ b a 2 + b 2 + c 2 ≤ 0 ⇒ b ≤ 0

| x → |   =   14 ⇒ a 2 + b 2 + c 2 = 14

Passo 2

Assim, temos duas equações

a + 2 b + c = 0

3 a + 4 b - c = 0

e sabemos que b ≤ 0 e que a 2 + b 2 + c 2 = 14 . Vamos somar as duas equações acima

a + 2 b + c + 3 a + 4 b - c = 0 ⇒ 4 a + 6 b = 0 ⇒ a = - 3 2 b

Agora, vamos substituir a = - 3 2 b na primeira equação

a + 2 b + c = 0 ⇒ - 3 2 b + 2 b + c = 0 ⇒ 1 2 b + c = 0 ⇒ c = - 1 2 b

Então, até o momento sabemos que x → = ( - 3 2 b , b , - 1 2 b ) .

Passo 3

Agora, usamos a informação de que a 2 + b 2 + c 2 = 14 juntamente com a = - 3 2 b e c = - 1 2 b :

a 2 + b 2 + c 2 = 14 ⇒ 9 4 b 2 + b 2 + 1 4 b 2 = 14

⇒ 7 2 b 2 = 14 ⇒ b 2 = 14 2 7 = 4 ⇒ b = ± 2

Para decidir o sinal de b , basta a gente lembrar que b ≤ 0 . Então b = - 2 e ficamos com

x → = ( - 3 2 b , b , - 1 2 b ) = ( 3 , - 2,1 )

Resposta

x → = ( 3 , - 2,1 )