EDOs Exatas
Teoria
Módulo 1
Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Exercício nº 1 letra “a” - lista 2 de Cálculo III – IME - UERJ – Profa. Paula Clemente -2014
Resolva a seguinte equação exata:
Passo 1
Fala aí, tudo joia? O exercício já nos falou que a EDO é exata, e ela já está no formato que a gente usa, olha só:
Beleza, bora lá então!
Passo 2
Para resolver EDOs desse tipo, devemos integrar com relação a :
Como a integral é em relação a , tudo o que está com a gente considera constante, beleza?
Sendo assim, podemos tirar da integral o já que é uma constante:
Resolvendo a integral, teremos:
Lembra que essa é a função que depende de , como se fosse nossa constante que precisamos sempre colocar depois de resolver uma integral indefinida!
Passo 3
Beleza, agora a gente vai derivar o resultato que encontramos no passo 2, mas agora em relação a e considerando o constante:
Vamos seguir...
Passo 4
Agora a gente compara o resultado obtido no passo 3 com . Podemos igualar mesmo:
Daí a gente descobre que:
Passo 5
Pra descobrir então �� só integrar , em relação a:
Integrando em relação a temos:
Passo 6
Agora vamos obter a função potencial inserindo o valor que a gente achou pra dentro dessa expressão aqui:
E assim a solução final é dada implicitamente por:
Então a nossa é:
Prontinho! Essa é a nossa solução da EDO😊
Resposta
Exercício Resolvido #2
Exercício nº 1 letra “e” - lista 2 de Cálculo III – IME - UERJ – Profa. Paula Clemente -2014
Resolva a equação diferencial.
Passo 1
Bom. A primeira coisa a fazer é ajeitar essa EDO para ver a cara que ela tem!
Multiplicando cruzado e passando tudo pro mesmo lado:
Opa, ficou com aquela cara bacana para ver se é uma EDO exata! A gente pode chamar os pedacinhos assim:
Então:
Passo 2
Vamos verificar se é exata!
Para ser exata, precisamos que:
Derivando em relação a , temos:
E derivando em relação a temos:
As duas derivadas parciais são iguais, então essa é uma EDO Exata!!
Passo 3
Sabendo que a EDO é exata, agora precisamos resolvê-la. E para isso vamos para o próximo passo que é integrar com relação a :
Lembra que aqui a gente considera constante:
Não esquece de somar essa função , tá bom? Ela será nossa constante de integração.
Passo 4
Continuando...
Feito isso, agora derivamos o resultado obtido no passo 2, mas agora em relação a :
Simplificando:
Passo 5
Agora vamos comparar o resultado obtido no passo 3 com , igualando as duas:
E aí encontramos:
Integrando com relação a :
Passo 6
Agora a gente pega esse resultado de e encaixa lá naquela expressão do passo 2 fazendo:
Passo 7
A solução é dada implicitamente por , então vamos igualar nossa expressão a e prontinho!
Passo 8
Resposta
Exercício Resolvido #3
A condição necessária e suficiente para que a equação seja diferencial exata é que, sendo e funções contínuas e deriváveis, se tenha .
Sendo assim, resolva a equação exata
Passo 1
Opaa, vamos lá! A questão quer que a gente resolva a equação exata:
Vamos começar definindo quem são as funções e da nossa equação.
Vamos verificar se ela é uma equação exata, vendo se temos , como o próprio exercício nos informa...
Passo 2
Vamos derivar a função em relação a , a gente considera constante:
E agora vamos derivar em relação a :
Como encontramos , vemos que a equação é exata!
Passo 3
O nosso próximo passo agora é integrar em relação a :
Para isso, começamos integrando em relação a
Lembrando que essa apareceu porque ao derivarmos parcialmente em relação a todos os termos que dependiam apenas de foram tratados como constante, então na integração, temos que considerar isso.
Passo 4
Agora, devemos derivar esse resultado em função de .
Show!! Esse resultado, a gente deve comparar com a função . Igualando as duas coisas.
Passo 5
Comparando...
Com isso, a gente tem que :
E pra achar o valor de , vamos integrar :
Passo 6
Essa é a última etapa para calcularmos e assim acharmos a nossa solução.
Substituindo o valor de , ficará:
E agora igualamos isso à constante :
Uhuul!! Chegamos na resposta!
Resposta
Exercício Resolvido #4
Unicamp, Cálculo 3, 2019.2, P1, Questão 2.
Encontre uma solução para a seguinte equação exata:
Passo 1
Vamos começar lembrando do que é uma equação exata. A forma geral dela é essa aqui:
Mas ela tem uma propriedade especial, que diz que:
Como o enunciado já garantiu que a equação é exata, nem precisamos conferir isso. Agora vamos ao que interessa: como a gente faz pra resolver uma EDO exata?
Passo 2
Então vamos lá, primeiro temos que identificar quem são e . Pra isso é só comparar as equações:
Ou seja:
Passo 3
Agora a gente integra em relação a :
Aqui é só aplicar as regras da integração de polinômios, não esqueça de colocar a constante no final:
Por que a constante aparece como uma função de ? Bom, já que a gente integrou só em relação a , a “constante” ainda tem todo o direito de depender de .
Passo 4
Show! Agora a gente deriva essa expressão que achamos no passo anterior, mas agora em relação a :
E vamos comparar esse resultado com !
Passo 5
Temos que:
Daqui tiramos que:
Então ....
Passo 6
Substituindo isso na expressão lá do Passo 3, temos:
E por fim igualamos nossa solução a uma constante:
Prontinho! 😊
Resposta
Exercício Resolvido #5
Apostila Cálculo 2A –Prof.ª Cristiane R.R. Argento, Prof. Freddy Hernández
Resolva a equação diferencial
Passo 1
Primeiro a gente precisa saber que tipo de equação é essa. Como não está tão claro, teremos que manipular um pouco pra ver se ela é uma EDO exata.
Vamos escrever :
Agora ela já tá com cara de exata, só vou trocar as posições dos diferenciais para não nos confundirmos depois.
Passo 2
Agora vamos verificar se ela é exata! Pra ser exata, precisamos que:
Sendo que temos: e que .
Derivando em relação a e em relação a , temos:
Como são iguais, concluímos então que a equação é exata.
Passo 3
Agora vamos partir pra resolver a equação!
Vamos começar integrando em relação à
Podemos escrever:
Então:
Passo 4
Agora a gente deriva o resultado obtido no passo 3 com relação a , considerando como constante:
Passo 5
Compare o obtido no passo 4 com :
Daí vemos que: :
E com isso:
Passo 6
Obtenha a função inserindo o resultado obtido no passo 5 dentro da função do passo 3:
Passo 7
A solução é dada implicitamente por , então vamos igualar o que achamos com :
A solução então é:
Prontinho! 😊
Resposta
Exercício Resolvido #6
Equações Exatas e Quase Exatas
Verifique se a equação é exata e resolva-a
Passo 1
E aí, tudo bem?
Bem, ele disse que é para ver se essa equação é exata, então vamos fazer isso, e depois vamor resolver essa EDO.
A cara da equação exata é
Então temos
E
Uma EDO é exata se:
Vamos ver isso então...
Passo 2
Derivando em relação a , consideramos constante:
Usando a regra do Tombo temos:
E derivando em relação a , consideramos constante:
Usando a regra do tombo:
E acabamos de ver que esses caras são iguais, então verificamos que essa EDO é exata.
Passo 3
Agora é hora de resolvê-la!
A primeira coisa que fazemos é integrar em relação a ...
Passo 4
Ok, esse será nossa solução, mas temos uma expressão que a gente não conhece. Para encontrá-la, vamos derivar o que achamos em relação a , considerando constante:
Passo 5
Comparamos essa expressão com para encontrar a expressão da derivada:
Assim, temos:
Passo 6
Portanto, para encontrar a expressão de , integramos:
Passo 7
A solução da nossa equação exata vai ser dada de forma implícita por
Substituindo a expressão que encontramos para :
Prontinho! Essa é a solução da equação😊
Resposta
Exercício Resolvido #7
A condição necessária e suficiente para que a equação seja diferencial exata é que, sendo e funções contínuas e deriváveis, se tenha .
Resolva a equação exata
Passo 1
Opaa, vamos lá! A questão quer que a gente resolva a equação exata:
Vamos começar definindo quem são as funções e da nossa equação.
Vamos verificar se ela é uma equação exata, vendo se temos , como o próprio exercício nos informa...
Passo 2
Derivando a função em relação a , e considerando constante:
E agora derivando em relação a :
Como encontramos , vemos que a equação é exata!
Passo 3
O nosso próximo passo agora é integrar em relação a :
Para isso, começamos integrando em relação a
Lembrando que essa apareceu porque ao derivarmos parcialmente em relação a toda função que dependia apenas de foi tratada como constante, então na integração, temos que considerar isso.
Passo 4
Agora, devemos derivar esse resultado em função de .
Show!! Esse resultado, a gente deve comparar com a função .
Passo 5
Comparando...
Com isso, a gente tem que :
Então pra achar o valor de , vamos integrar :
Passo 6
Essa é a última etapa para calcularmos e assim acharmos a nossa solução.
Substituindo o valor de , ficará:
E agora igualamos isso à constante :
Uhuul!! Chegamos na resposta!
Resposta
Exercício Resolvido #8
Equações exatas e Quase Exatas
Determine todas as funções que tornam exata a equação diferencial
Considere a função tal que e encontre a solução geral da equação dada em
Passo 1
E aí, tudo joia?
Vamos começar pelo item , a EDO é a seguinte:
Como o problema pediu para que ela seja uma EDO exata. Definimos como:
A ideia para a EDO ser exata é de que:
Vamos verificar isso então...
Passo 2
Derivando em relação a :
Agora derivando em relação a :
Como não sabemos quem é a função , deixamos a derivada representa como mesmo!
Então pra ela ser exata, precisamos que:
Isolando :
Passo 3
Como encontramos , vamos integrar pra achar :
Então todas as funções dessa forma fazem com que a EDO seja exata!
Passo 4
Substituindo a condição na função encontrada ali em cima:
Assim:
Passo 5
Substituindo isso na EDO:
Devemos agora solucionar essa EDO, sabemos que, ela é exata. Pra isso, vamos seguir o passo a passo de resolução de EDO exata:
Vamos integrar em relação a :
Passo 6
Agora vamos derivar essa expressão em relação a :
Comparando essa expressão com :
Concluímos que:
Passo 7
Integrando , encontramos :
Então substituindo , nessa expressão aqui:
Temos:
E pra ficar completa, só falta igualar a uma constante agora e pronto:
Passo 8
Resposta
Exercício Resolvido #9
PUC-RJ, Cálculo 3, P1 2014.1, Questão 1 item b
Resolva o problema de valor inicial abaixo, isto é, encontre a função ou as funções que satisfaz(em) a equação diferencial e a condição inicial dada.
Passo 1
Essa equação tem muito cara de ser exata, né? Mas precisamos verificar isso antes de utilizar o método para resolver EDO’s exatas.
Para isso vamos usar o critério de Euler sabendo que
Logo,
A função é sempre a que multiplica e a função é sempre a que multiplica .
Vamos ver as derivadas pra conferir se nossa equação realmente é exata.
Como ela é exata e podemos partir pro abraço porque agora é só aplicar o método.
Passo 2
Integrando em relação a
Lembrando que as integrais são em relação a certo? Então o restante sai como constante
Simplificando:
Passo 3
Derive o resultado obtido no passo 2 com relação a
Tiramos as constantes. Detalhe, derivada em relação a Atenção!
Lembrando que a derivada só da constante é zero. Como não tem a variável , fica zero
Passo 4
Compare o resultado obtido no passo 3 com
Integrando acharemos
Passo 5
Obtenha a função inserindo o resultado obtido no passo 4 dentro da função do passo 2
Passo 6
Como , onde é uma constante.
Show, estamos perto. Agora precisamos descobrir o valor da constante .
Passo 7
Utilizando as informações do PVI que forma dadas no enunciado, , temos.
Substituindo em nossa solução:
Passo 8
Com isso, a solução é dada implicitamente pela equação
Precisamos resolver essa equação para achar , se liga que ela é uma equação de grau onde
Então podemos resolver
Passo 9
Temos que ver qual dos dois sinais que queremos, para isso é só usar a condição inicial, vamos ver o valor de quando
Como o valor de neste ponto, a nossa função tem sinal positivo.
Resposta
Exercício Resolvido #10
Considere as variáveis e relacionadas pela forma diferencial:
Encontre o valor de para que o qual a equação acima seja exata.
Passo 1
E aí, tudo joia?
Bem, sabemos que uma equação diferencial somente é exata se:
Onde e são os termos da equação diferencial que acompanham e respectivamente.
Aqui então:
Temos:
Basta calcular as derivadas então e ser feliz com a igualdade obtendo o , não concorda?
Passo 2
Primeiro, calculemos aqui a derivada de em relação a :
Como é uma derivação em relação à , o primeiro termo é o único que sobra, já que o segundo é apenas considerado constante na integração com relação a :
Aplicando a regra do produto:
Ora, a derivada de com relação à é...
Para calcular essa segunda derivada, cuidado com a regra da cadeia:
Logo... Colocando-se em evidência o termo da exponencial...
Passo 3
Agora, calculemos nesse outro passo a derivada do nosso ...
Como é uma constante, ele pode sair da derivada:
Aplicando-se então a regra do produto...
E a regra da cadeia...
Passo 4
Como vimos no passo , essas duas derivadas que obtivemos devem ser iguais:
Então vamos igualar nossos resultados:
Cortando os termos iguais dos dois lados, sobra:
Então para que a equação seja exata, devemos ter 😊