Modelagem de EDOs
Teoria
Módulo 1
Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Uma cultura de bactérias começa com bactérias e cresce a uma taxa proporcional a seu tamanho. Após horas existem bactérias na amostra. Em horas serão:
- bactérias
- bactérias
- bactérias
- bactérias
- bactérias
Passo 1
Fala aí, tudo joia?
A questão deu para gente uma relação entre um valor e a taxa de variação dele. Isso é o mesmo que uma relação entre uma função e a derivada dela, o que é uma equação diferencial!
Então a gente precisa montar uma EDO e resolvê-la usando os dados do enunciado.
Então, sendo a quantidade de bactérias após horas, pelo enunciado a gente tem que:
(quantidade inicial)
(quantidade após duas horas)
Com isso a gente consegue achar Vem comigo!
Passo 2
Ele diz que a taxa de variação da quantidade de bactérias é proporcional à quantidade de bactérias. A gente sabe que taxa de variação é dada pela derivada, logo temos que:
Onde esse é uma constante de proporcionalidade, tranquilo?
Passo 3
Essa equação é típica de um problema de modelagem de crescimento populacional. Ela é separável e a solução dela é da forma:
(sim, é bom ter essa solução gravada pra facilitar as coisas😊)
Passo 4
Agora a gente precisa descobrir esse e esse .
Vamos usar aquelas informações do enunciado:
Usando a primeira informação:
Show! Já achamos nosso ! Vamos achar nosso agora😉
Passo 5
Seguindo na mesma equação:
Só que agora já podemos reescrever como:
Substituindo a condição::
E resolvendo a equação:
Pra achar aquele ali, vamos aplicar o logaritmo dos dois lados pra eliminar essa exponencial, beleza?
Passo 6
Vamos lá:
E olha que legal, com isso aquele pode sair dali, porque: :
E achamos nosso ! Nossa equação então é:
Passo 7
Com podemos achar , apenas substituindo o :
Vamos usar umas propriedades de logaritmos para fazer essa conta:
Esse que está na frente do pode ir para dentro do em forma de expoente no , assim:
Como isso, poderemos cortar o com o novamente. E teremos:
Logo, a nossa resposta é a letra c. 😊
Resposta
Letra c
Exercício Resolvido #2
Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de Cálculo Vol. 1, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, Pg 453exercício 6
A reta tangente ao gráfico de , no ponto , intercepta o eixo no ponto de ordenada . Determine sabendo que .
Passo 1
Opa, reta tangente aqui também? Pois é, ela está sempre presente haha...
Vamos lá, primeiro vamos interpretar o enunciado. Nesse caso, ele fala da reta tangente. A equação da reta tangente, é dessa forma aqui, tá lembrado?
Com a inclinação da reta igual a e essa reta passando pelo ponto .
Mas calma, nós sabemos a inclinação da reta tangente, não é mesmo?
Assim:
Agora vamos identificar o ponto
Passo 2
Ele fala que essa reta intercepta o eixo no ponto , então podemos escrever:
Certo?
Agora basta substituir na equação da reta tangente para resolvermos a EDO.
Passo 3
Substituindo os valores encontrados:
Essa é uma EDO separável, então vamos separar a equação e resolver.
Passo 4
Então:
Assim, podemos escrever:
Integrando dos dois lados:
Passo 5
A primeira integral:
E a segunda...
Assim:
Passo 6
Vamos isolar o agora, aplicando exponencial dos dois lados:
Beleza! Encontramos nossa solução geral aqui!
Passo 7
Agora vamos encontrar o valor da constante , pois sabemos que:
Então, substituindo aqui:
Temos:
Logo:
Substituindo o valor de em :
Essa é a nossa reta então:
Prontinho😊
Resposta
Exercício Resolvido #3
Fator Integrante
Uma doença rara se espalha em uma aldeia indígena de habitantes, e a taxa de variação das pessoas infectadas é proporcional ao quadrado da quantidade de pessoas infectadas vezes a quantidade de pessoas não infectadas. Inicialmente, há apenas uma pessoa infectada, porém após um dia, pessoas estão infectadas. Qual alternativa é o modelo matemático apropriado para estudar a evolução dessa doença?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Nenhuma das outras opções
Passo 1
E aí, beleza?
Vamos chamar de a quantidade de pessoas infectadas em função dos dias, show?
O enunciado diz que “inicialmente, há apenas uma pessoa infectada”. Esse “inicialmente” é o dia zero, então quando , . Ou seja,
Ok, vamos caminhar...
Passo 2
Ele também diz que “após um dia, pessoas estão infectadas”. Seguindo o mesmo raciocínio, concluímos que:
Só assim, já eliminamos algumas alternativas! :D
Passo 3
Beleza, agora vamos tentar achar a expressão de , que é a taxa de variação das pessoas infectadas em função do tempo.
E o enunciado fala que essa taxa “é proporcional ao quadrado da quantidade de pessoas infectadas vezes a quantidade de pessoas não infectadas”. Vamos traduzir isso pra matemática?
Em um dia , o número de infectados é . E o número de não infectados, nada mais é que a população total menos o número de infectados!
A população total é fixa em pessoas, então o número de não infectados é . Certo?
Passo 4
Além disso, o quadrado da quantidade de pessoas infectadas, pode ser escrito como:
Então como a taxa é proporcional ao quadrado da quantidade de pessoas infectadas vezes a quantidade de pessoas não infectadas, temos que:
é proporcional a
Sendo uma constante de proporcionalidade, obtemos
ou simplesmente
Juntando essas informações, chegamos na alternativa (a) 😉
Resposta
Alternativa (a)
Exercício Resolvido #4
Equações Separáveis
A taxa com que o vírus da gripe "C" se espalha em uma comunidade é proporcional ao número de pessoas infectadas vezes o número de pessoas não infectadas. No início da prova de Cálculo II, em uma sala com 60 alunos, haviam 3 alunos gripados e 2 horas depois 35 alunos estavam contaminados. Seja o número de pessoas gripadas após minutos e . O modelo matemático que melhor representa este problema é:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Opa! Tudo joia?
Ele deu muita informação, então vamos organizar tudo pra não embolar:
- é o número de alunos gripados após minutos
- temos 60 alunos na sala
- no começo tínhamos 3 alunos gripados
- depois de 2 horas já eram 35 contaminados
- a taxa com que o vírus se espalha é proporcional a
Beleza, agora vamos ver o que tiramos disso!
Passo 2
No começo, ou seja, quando , tinham 3 pessoas infectadas.
Logo, , certo?
E depois de 2 horas, ou seja, minutos (perceba que é contado em minutos), tinham 35 contaminados.
Então .
Tranquilo né? Com essas informações já eliminamos 3 alternativas!
Passo 3
Agora vamos achar a taxa de variação de infectados em relação ao tempo .
Sabemos que a taxa é proporcional ao número de pessoas infectadas vezes o número de pessoas não infectadas.
O número de infectados a gente já sabe que é . E os não infectados são simplesmente todo mundo menos os infectados. Como o total de alunos é , os não infectados são:
O número de pessoas infectadas vezes o número das não infectadas então é:
Passo 4
A taxa de variação é proporcional a .
Show! Então, sendo uma constante de proporcionalidade, temos:
Juntando as informações que tiramos, a alternativa correta é a 😊
Resposta
Alternativa (a)
Exercício Resolvido #5
EDO linear de 1ª Ordem
Suponha que a taxa de crescimento de uma certa população varia com o tempo, e que o número de indivíduos da mesma no instante satisfaz a equação diferencial:
i) Se encontre (ou estime) o instante no qual a população dobra.
Determine se o tempo no qual o número de indivíduos dobra dependa da população inicial.
ii) Suponha que a parcela na equação diferencial é substituída por , isto é, a variação na taxa de crescimento tem uma frequência substancialmente maior. Qual é o efeito dessa mudança no tempo de duplicação da população?
Passo 1
E aí, tudo bem? Vamos começar a resolver essa questão pelo item i).
Bom, a gente tem essa EDO aqui:
Essa EDO é separável, já que a gente pode jogar tudo que é para um lado e o que é para o outro, ficando com:
Passo 2
Vamos começar reescrevendo essas divisões:
E nessa parte aqui:
Podemos separar:
Jogando para fração temos:
E aí ficamos com:
Passo 3
Integrando os dois lados:
Para deixar o sozinho, podemos aplicando exponencial dos dois lados da equação:
Assim podemos cortar o com o , ficando com:
Como no lado direito temos o expoente com somas e uma das parcelas é a constante . Podemos abrir esses expoente em uma multiplicação de potências de bases iguais.
E é uma constante. Então ficaremos com:
Considerando o :
E prontinho! Essa é a solução geral da EDO😊
Passo 4
Agora vamos atrás de descobrir o valor de . Como a condição inicial é , vamos substituir:
Como , podemos tirar o :
Agora que já sabemos que , vamos colocar isso lá na nossa solução geral:
Passo 5
O instante no qual a população dobra é dado por
Então, aplicando logaritmo dos dois lados:
Multiplicando tudo por :
Essa é uma equação de segundo grau, então vamos escrevê-la na forma:
Passo 6
Pra resolver essa equação, vamos aplicar a fórmula de Bháskara:
Onde aqui a gente tem:
Substituindo:
Pegando só a raiz positiva já que não faz sentido termos um tempo negativo, ficamos com:
Que representa o tempo no qual a população dobra.
Passo 7
Suponha que a população inicial é dada por
Então, se é o tempo que a população dobra, teremos:
O que implica que
Portanto, não depende de .
Passo 8
ii) Ao fazer a substituição temos que
Como já vimos na anterior:
E o tempo de duplicação fica:
Portanto aumentando a variação na taxa de crescimento para , o tempo de duplicação diminui.
Resposta
i)
Não depende de .
ii) O tempo de duplicação diminui.
Exercício Resolvido #6
Suponha que uma gota d’água esférica evapore a taxa proporcional à área de sua superfície. Se o raio mede originalmente mm e h depois foi reduzido a mm, encontre a expressão do raio em função do tempo.
Passo 1
Opa! Vamos ver mais esse probleminha aqui!
A gota d’água evapora a uma taxa proporcional a área da superfície. Então, podemos representar a área da superfície pela relação
Em que é a área da superfície no instante inicial e é a constante de proporcionalidade a determinar.
Passo 2
Vamos começar com , de forma geral, a área da superfície de uma esfera é dada pela expressão
Como no caso o raio inicial é mm, então:
Passo 3
Agora vamos para usando os dados do problema. Considerando em horas, para h, o raio da gota vai ter reduzido para mm, então temos:
Sendo:
Assim, igualando as duas:
Simplificando:
E nossa expressão para área será:
Passo 4
Legal, encontramos a expressão para área, mas o problema quer saber do raio. Substituímos a relação, então:
Isolando o raio, teremos:
Jogamos o quadrado para o lado direito em forma de raiz e tiramos a raiz de todos os valores:
Prontinho! Essa é a expressão do raio em função do tempo😊
Resposta
Exercício Resolvido #7
UFRJ, Cálculo 2, P1 2009.2, Questão 1
Suponha que no instante , a metade de uma população de coelhos é infectada por um vírus que começa crescendo com uma taxa de coelhos por dia. Assumindo que a taxa com que o vírus se espalha é proporcional à quantidade de coelhos infectados vezes a quantidade de coelhos não infectados, determine o tempo que levará para que o vírus se espalhe por da população.
Passo 1
Opa! Tudo bem? Vamos começa entendendo esse problema...
Chamemos de a quantidade de coelhos infectados e a população total de coelhos.
A quantidade de coelhos não infectados então é: .
A taxa com que o vírus se espalha é a taxa com que coelhos são infectados, e como ela é proporcional à quantidade de coelhos infectados , vezes a quantidade de coelhos não infectados , temos:
Onde é a constante de proporcionalidade.
Passo 2
O problema diz que a taxa inicial é coelhos por dia. Sempre que falarmos de início, é em , beleza?
Então:
E também diz que metade da população está infectada inicialmente.
Então:
Com essas informações temos um PVI:
Passo 3
Queremos descobrir o tempo para o qual:
Ou seja, em que tempo a quantidade de coelhos infectados é igual a da população total.
Como e são conhecidos, podemos calcular a constante substituindo seus valores na EDO:
Substituindo:
Passo 4
Vamos agora encontrar a solução geral.
Colocando a derivada na forma em vez de e escrevendo apenas em vez de ficamos com:
Está ficando com uma carinha de EDO separável, não é mesmo. Vamos multiplicar cruzado:
Separar tudo que tem para o lado do e tudo que tem para o lado do :
E assim chegamos a nossa EDO separável! Agora é partir pra solução dela.
Passo 5
Integrando os dois lados:
Para integrar o lado esquerdo da equação, precisamos desmembrar em frações parciais:
Pra isso ser uma igualdade verdadeira, precisamos que:
Passo 6
Daí, tiramos que:
Substituindo:
Logo:
Passo 7
Substituindo na nossa equação lá de cima:
A primeira e a última integral são tranquilas:
Nessa integral daí, podemos resolver por uma mudança de variável:
Derivando (levando em consideração que é constante) temos:
Logo...
Como ...
Passo 8
Queremos isolar :
Como apareceu um , vamos aplicar a exponencial nos dois lados:
Substituindo , já que ambos são constantes...
Multiplica cruzado:
Ufaa! Isolamos !
Passo 9
Vamos resolver o PVI agora, usando:
Substituindo na solução geral:
Substituindo condição inicial:
(Multiplica cruzado:)
Substituindo valor da constante na solução geral:
Passo 10
Agora vamos encontrar tal que :
Basta substituir para encontrar correspondente:
Aplicando logaritmo dos dois lados:
Substituindo valores de e que achamos ali em cima:
Então em aproximadamente 35 dias o vírus terá se espalhado por da população.
Resposta
Exercício Resolvido #8
William E. Boyce, Equações diferenciais Elementares e problemas de valores de contorno, 8ªed. Rio de Janeiro: LTC, 2006, pg 36-24
Um trenó foguete com velocidade inicial de 150 milhas/h (cerca de 241km/h) tem sua velocidade diminuída por um canal de água. Suponha que durante o processo de freagem a aceleração é dada por , onde é a velocidade e é uma constante.
- Use a relação para escrever a equação de movimento em função de e de .
- Se é necessária uma distância de 2000 pés (cerca de 609.6m = 0,6096 km) para o trenó atingir a velocidade de 15 milhas/h (cerca de 24,1 km/h), determine o valor de
- Encontre o tempo necessário para o trenó atingir a velocidade de 15 milhas/h.
Passo 1
Opa! Vamos ver mais essa aqui?
- No item (a), ele quer que a gente escreva a equação diferencial em função de e . Vamos botar a mão na massa.
- Pra acharmos o valor de a partir da distância temos que resolver a equação separável que encontramos na letra a.
Sabemos que:
Substuindo aqui:
Essa é a equação de movimento! E essa EDO é de que tipo? Acertou se falou separável!
Passo 2
Primeiro vamos escrevê-la da forma separável:
Agora integramos dos dois lados:
Passo 2
Resolvendo...
Onde C é uma constante que a gente adiciona por estarmos lidando com integrais indefinidas.
Aplicando exponencial dos dois lados:
Trocando a constante por uma outra constante .
Passo 3
Para acharmos os valores de e de temos que usar as informações iniciais que ele nos dá:
e
Substituindo:
Aplicando logaritmo dos dois lados:
Podemos cortar o e o , fincando com:
Usando uma calculadora esperta, vamos achar:
Passo 4
c) Para resolvermos essa letra temos que resolver:
Porquê? Porque ele quer relacionar velocidade e tempo e não velocidade e espaço como nos outros itens!
Escrevendo naquele formato característico de resolver equação separável e integrando de ambos os lados:
Resolvendo cada uma das integrais, teremos:
Igualando de novo:
Onde D é uma constante.
Passo 5
Vamos substituir o valor da velocidade inicial, para achar .
Assim teremos:
Passo 6
Calculando tal que
Transformando em segundos...
Esse é o tempo necessário😊
Resposta
a)
b)
c)
Exercício Resolvido #9
Equações Separáveis
Uma tigela de sopa sai do aparelho de micro-ondas a e é levada para uma sala onde a temperatura é de . A lei de resfriamento de Newton afirma que a taxa de resfriamento é proporcional à diferença de temperatura entre o objeto e sua vizinhança. Sabemos também que esta sopa esfria a uma taxa de por minuto quando sua temperatura é de :
Escreva a equação diferencial que expressa a lei de resfriamento de Newton nesta situação particular.
Passo 1
E aí, tudo joia?
a) Vamos com calma, você não precisa saber a lei de resfriamento de Newton. Vamos encontra-la através do Cálculo! Repara que ele explicou direitinho como é essa lei né? Vamos entender bem essa parada.
Primeiro vamos fazer sendo a temperatura em do objeto.
Esse vai ser o tempo, repara que o enunciado nos dá a taxa em por minuto, assim vamos fazer em minutos para facilitar nossa vida.
Além disso, ele disse que a lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de resfriamento é proporcional à diferença de temperatura entre o objeto e sua vizinhança. “Taxa de resfriamento” quer dizer a taxa que a temperatura varia, ou seja, a derivada de . Assim:
Esse que colocamos aí, é justamente porque ele disse que é proporcional, então ele é nossa constante de proporcionalidade.
Passo 2
Continuando...
No enunciado ele diz que a temperatura na vizinhança (aqui é a temperatura da sala) vai ser:
Substituindo ali, vamos ter a seguinte EDO para achar :
Passo 3
Você pode olhar e achar que está certinha essa EDO né? Mas temos um ali. Precisamos achar o seu valor. Repara que ele diz no enunciado que
“esta sopa esfria a uma taxa de por minuto quando sua temperatura é de :”
Isso nos diz que
A taxa vai ser porque a temperatura está diminuindo. Então vamos substituir essas informações:
Agora temos uma equação, e basta isolarmos o :
Show, achamos o valor da constante de proporcionalidade. Agora vamos reescrever nossa EDO:
Prontinho! 😊
Resposta
Exercício Resolvido #10
Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp129-7
Dois compostos químicos e são combinados para formar um terceiro composto . A taxa ou velocidade da reação é proporcional à quantidade instantânea de e não convertida em .
Inicialmente há 40 gramas de e 50 gramas de , e para cada grama de 2 gramas de são usados. É observado que 10 gramas de são formados em 5 minutos. Qual é a quantidade remanescente de e depois de um longo período de tempo?
Passo 1
Olá, tudo bem?
Pra resolvermos essa questão, temos primeiro que chegar na equação da variação de com o tempo.
Para isso temos que resolver uma equação separável que usada em problemas de misturas.
Montaremos nossa fórmula a partir da quantidade inicial dos reagentes , que foi consumida pra formar o produto . A reação nos diz que precisamos do dobro de para cada quantidade de :
Escrevendo em função de , teremos:
Passo 2
A quantidade de não convertida em , é dada por:
E temos que a taxa de variação é proporcional a isso, então:
Como inicialmente temos , substituímos:
Passo 3
Vamos escrever essa equação naquele formato de resolução de equação separável que já estamos acostumados, colocando tudo que tem para a esquerda e o que tem para a direita:
Integrando o lado esquerdo, vamos utilizar aquele método das frações parciais.
Cortando os denominadores e fazendo a distributiva:
Passo 4
Igualando os coeficientes correspondentes:
Disso obtemos o sistema.
Da segunda temos:
Substituindo na primeira:
E então temos:
Passo 5
Substituimos os valores encontrados de e , e partiremos para a integral:
Para resolver essa primeira integral do lado direito, podemos pensar em uma mudança de variável...
Substituindo:
E voltando para :
Passo 6
A segunda agora:
Da mesma forma, aqui podemos fazer a substituição:
Substuindo:
Voltando para :
Passo 7
Juntando as duas agora:
Usando a propriedade da subtração de logaritmo:
Passo 8
Integrando o lado direito:
Igualando os dois lados da equação vamos ter:
Aplicando logaritmo dos dois lados:
Passo 9
Vamos juntar as frações ali em cima:
e
Substituindo:
Cortando os nos denominadores:
Isolando o agora:
Trocando por uma nova contante para facilitar os cálculos
Passo 10
No problema ele diz que após 5 minutos são formados 10 gramas de C e devemos assumir também que no tempo inicial a quantidade de C é zero. Logo:
Substituindo, temos:
Passo 11
Como :
Passo 12
Sabemos que a quantidade de e para um tendendo ao infinito será dada pela expressão abaixo.
Calculemos o limite de quando tende ao infinito, sendo :
Aplicando a regra de L’Hospital
Substituindo o valor nas expressões que temos.
E finalmente acabamos!