EDOs Lineares

Pra achar o fator integrante, primeiro temos que botar a equação na forma da EDO linear que é essa aqui:

A EDO é

O coeficiente multiplicando tem que ser 1 então vamos dividir os 2 lados por :

Podemos também abrir essa fração em duas repetindo o denominador:

Agora passamos o termo que tem o para o lado direito da equação, ficando com:

A primeira coisa que fazemos quando percebemos que temos uma EDO linear de primeira ordem é identificar quem é o e o . Vamos comparar então:

Assim, vemos que:

Agora que a gente já sabe quem são os coeficientes e vamos partir para nosso próximo passo da receitinha de bolo, calcular lembrando que não precisamos colocar a constante de integração aqui 😊

Pra integral de temos ele tabeladinho como sendo .

Vamos agora lembrar de uma propriedade do . Podemos passar a constante que está multiplicando o para o expoente de quem está dentro dele. Assim:

No nosso caso, e Então:

Lembra que Com isso, nosso resultado será:

O que o enunciado pediu foi o fator integrante. Que será dado por:

Como nosso , o fator integrante se torna:

Como exponencial e são funções inversas, elas vão se cortar e vamos ficar com

E esse é finalmente o nosso fator integrante.

A gente tem uma equação que parece muuuuito esse formato aqui

Que é exatamente o formato da EDO Linear!

Já está na forma certa! Vamos então resolver!

A primeira coisa que fazemos quando percebemos que temos uma EDO linear de primeira ordem é identificar quem é o e o . Vamos comparar então:

Assim temos que:

Agora que a gente já sabe quem são os coeficientes e vamos partir para nosso próximo passo da receitinha de bolo, calcular lembrando que não precisamos colocar a constante de integração aqui 😊

Fazendo a integral de , ficamos com

Então, usamos esse resultado para calcular nosso fator integrante

Agora que temos o fator integrante, vamos fazer essa integral aqui:

Substituindo, teremos:

Aí você pensa,” Eita! Como vou resolver essa integral maluca aqui”. Calma, querido aluno. Podemos resolver essa integral com uma técnica de integração chamada substituição simples! Vamos chamar de e ficamos com isso aqui:

Com isso nossa integral se torna:

Podemos cortar os e colocar a constante que está multiplicando (o número 5) para fora da integral

E a integral de é o próprio , então ficamos com

Só que . Então voltamos para a variável substituindo o , e ficamos com:

E finalmente vamos pegar os resultados que achamos e colocar na fórmula da solução de EDO linear, lembrando que

E a formula da solução de EDO Linear é

Substituindo tudo, teremos:

Fazendo a distributiva ficamos com

Na primeira fração podemos cortar em cima e embaixo e na segunda fração podemos passar o para cima mudando o sinal do expoente

Temos que:

Arrumando nossa resposta, teremos:

Fala aii! Vamos partir pra cima de mais uma questão!!

A primeira coisa é identificar se nossa equação é linear de primeira ordem. Os pré-requisitos para isso são:

Para ser de primeira ordem a derivada de maior ordem deve ter ordem 1.

Ok, de primeira ordem ela é. Mas para ser linear:

1. Tanto as derivadas de quanto o próprio não podem estar elevados ao quadrado, cubo ou qualquer outro expoente diferente de 1.
2. Os coeficientes que aparecem multiplicando as derivadas de e o próprio dependem apenas de .

Está tudo de acordo, então temos uma equação linear de primeira ordem.

Agora vamos resolvê-la. Essa é uma EDO linear, então vamos usar o nosso famoso formato

Lembrando que é a mesma coisa que

Vamos identificar e

Identificamos qual tipo de equação temos e já achamos quem são e . O próximo passo é calcular a integral

Vamos precisar lembrar que , ficando com

Agora para resolver essa integral vamos precisar lembrar do método de integração chamado de substituição simples, ele é feito assim:

Agora vamos substituir por e por na integral, fica assim:

A gente pode ver que podemos cortar os e, os sinais de se anulam.

Então ficamos com

Maaas não podemos esquecer que , então nossa integral fica:

A próxima coisa é calcular o fator integrante

No nosso caso

Como e são funções inversas, elas se anulam e o resultado é o que está dentro do ou seja

Agora precisamos calcular a integral

Como e , temos

Vamos de novo resolver utilizando substituição simples

Substituindo na integral temos que:

Podemos cortar os , ficando com:

Lembrando de novo que temos que voltar a substituição então

Ufa, agora só falta colocar tudo na formulinha:

Lembrando que

Fazendo , podemos reescrever a função desse jeito:

Mas como é uma constante qualquer podemos considerar como constante também, aí chegamos ao nosso resultado:

Pronto! Resolvida a nossa equação.

Temos aqui uma EDO linear. Bom, para resolver essa EDO, precisamos deixar na nossa forminha de bolo de EDO linear que eu vou te lembrar aqui rapidinho:

Para isso precisamos deixar sozinho, então vamos dividir tudo por .

Cortando os que aparecem em cima e embaixo, temos que:

Show de bola. Conseguimos deixar com o formato de uma EDO linear. Vamos lembrar como resolvemos esses caras.

Como temos uma EDO de primeira ordem linear, vamos resolver pelo método do fator integrante. Comparando com a forma habitual, temos:

Vamos começar achando . Essa integral não precisa do , ok.

Podemos tirar o da integral porque ele é uma constante, então ficamos com

Lembrando que a temos que:

Agora que temos podemos achar o nosso fator integrante, que é desse jeitinho

Podemos simplificar desse jeitinho aqui:

E como e são funções inversas, um anula o outro, então é igual ao próprio , então ficamos apenas com:

Agora precisamos calcular . Substituindo:

Vamos fazer a distributiva, ficando com

Para ficar mais tranquilinho, vamos separar essa integral em 3 integrais mais fáceis, assim:

Ai, lembrando que temos que:

Agora que já temos a integral, vamos colocar na fórmula da solução geral.

Usando a nossa fórmula

Fazendo a distributiva, temos que

Podemos simplificar os , diminuindo os expoentes do numerador com os do denominador

E finalmente teremos nossa solução geral:

Bom, temos ali uma EDO linear pra resolver. Então vamos começar colocar a equação na forma

Para que o coeficiente do termo seja devemos dividir tudo por :

Como colocamos o termo no denominador, temos que dizer que é diferente de zero:

Mas como no próprio enunciado do problema já diz que , então tudo em paz! E é só pra isso que essa informação está no enunciado, tá! Então não precisamos mais nos preocupar com ela. já não poderia ser zero de qualquer maneira!

Com isso, teremos:

Podemos simplificar as potências de e ficamos com:

Legal! Chegamos à forma que queríamos!

O próximo passo é encontrar e :

Comparando as duas equações:

Vemos que:

Agora vamos calcular a integral sem adicionar a constante:

Como o enunciado diz, , então podemos tirar as barrinhas de módulo, pois .

Então, nesse caso temos que

Show, estamos indo bem! Vamos agora calcular , que é dado por:

Como e são funções inversas, elas “se anulam” e o resultado é o que está dentro do , no caso é , então temos que:

Próximo passo é calcular

Substituindo o que já conhecemos, teremos:

Podemos cortar o com o do denominador ficando com

Então, temos que:

Agora que já calculamos tudo, é só colocar na nossa formulinha da solução geral e partir para o abraço!

Mas calma aí, nossa questão ainda não acabou, nesse caso o enunciado nos dá um valor inicial, ele diz que , isso quer dizer que quando , .

Essa solução que a gente acho aí é uma solução geral. Então vamos substituir todos os por e todos os por para achar quanto vale a nossa constante!

Substituindo na solução geral:

Lembrando que , teremos:

Substituindo a na solução geral:

Só uma observação antes de terminar: não é sempre que a nossa constante vai dar zero beleza? Nesse caso deu por coincidência, mas ele pode ser qualquer outro valor, por isso não podemos esquecer dele 😊

Oiee! Essa questão parece muito sinistra, mas não precisa se preocupar! Com o nosso passo a passo vamos perceber que ela não é um monstro de 7 cabeças.

Temos aqui uma EDO linear de primeira ordem que tem esse formato aqui

Show! Nossa equação é

Comparando essas equações temos que:

Vamos partir para o método.

Vamos começar calculando a

E, como

Não tem muito o que mexer, vamos deixar assim mesmo!

Agora vamos passar para o próximo passo que é calcular

Como a gente tem dois elevados a alguma coisa vamos juntar eles e somar os expoentes

Opa, eles vão zerar, que beleza! Então vamos ficar com

Como , que nos dá:

Podemos separar em duas integrais:

E resolvendo teremos:

Agora que já achamos todas os nossos coeficientes, vamos lembrar a fórmula que vai dar a nossa solução geral.

Substituindo o que encontramos nos outros passo e lembrando que é uma constante real.

Lembrando que se temos algo assim

Podemos escrever como

Então, podemos passar esse para cima mudando o sinal do expoente, ficando com

Show achamos a equação geral, mas a nossa jornada ainda não acabou, porque temos um Problema de Valor Inicial, que diz que , ou seja, quando , temos que . Então, vamos substituir esses valores na nossa equação para encontrar o valor da constante .

Agora a gente pega a solução geral que tínhamos e substitui o valor de que acabamos de encontrar.

Logo a solução do PVI será

Só uma observação antes de terminar: não é sempre que a nossa constante vai dar zero beleza? Nesse caso deu por coincidência, mas ele pode ser qualquer outro valor, por isso não podemos esquecer dele 😊

Oii! Vamos continuar os estudos em Equação Diferencial LinearVamos começar colocando a equação na forma , lembrando que

Se liga no bizu: a função tem pontos de descontinuidade, para fugir dessas descontinuidades vamos considerar o intervalo .

Isso porque um parcela de continuidade da seria de , mas estou pegando um intervalo positivo para facilitar nossa vida.

Então temos:

Encontramos e

Vamos então calcular a integral sem adicionar a constante e achar

Mas opa, vimos lá no início que:

Então, como é sempre positivo, podemos tirar as barrinhas do módulo de .

Então:

Agora vamos achar sendo:

Como e são funções inversas, elas “se anulam” e o resultado é o que está dentro de nesse caso o prórprio então: