EDOs Não-Homogêneas (Exponencias e Trigonométricas)
Teoria
Módulo 2
Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração Própria
Encontre a solução geral da equação diferencial abaixo:
Passo 1
Fala aí, tudo joia?
Vamos seguir o passo a passo que a gente estudou. Nosso objetivo é encontrar:
Primeiro, encontremos a solução da equação auxiliar, relativa a equação homogênea. Como a nossa equação é:
Pra achar a solução homogênea, temos que fazer:
Passo 2
Desenvolvendo, temos:
Temos então duas raízes reais, então a solução homogênea é da forma:
A solução homogênea nesse caso então é:
Passo 3
Vamos partir agora para a solução particular , ok? Se você observar, a parte não homogênea da equação (lado direito). O que temos lá? Uma trigonométrica, então pela nosso chute vai ser dessa forma aqui:
Encontrando a primeira e a segunda derivada dessa solução particular, temos:
Passo 4
Agora temos que comparar a particular com a homogênea. Bem a homogênea envolve exponenciais, e a particular trigonométricas. Portanto, não tem nada da particular na homogênea e podemos ficar com o seguinte palpite:
Passo 5
Agora temos que substituir essas derivadas na equação. Teremos, então:
No lugar de a gente vai colocar e no lugar de a gente vai colocar :
Passo 6
Igualando o coeficiente que está multiplicando a função cosseno do lado esquerdo e do lado direito temos:
Como não há a função seno do lado direito da equação:
Então substituindo aqui:
Passo 7
Assim, a solução geral é:
Porém encontramos:
Então fica:
E prontinho! EDO resolvida😊
Resposta
Exercício Resolvido #2
EDO de 2ª Ordem não Homogênea
Determine a solução geral da equação diferencial:
Com as seguintes condições iniciais
e .
Passo 1
Aqui temos uma EDO de segunda ordem não homogênea para ser resolvida. Basta a gente seguir o passo a passo que não tem o que dar errado! Nossa solução deve ser a forma:
Onde é a solução homogênea, e é a solução particular.
Primeiro, encontremos a solução da equação auxiliar, relativa a equação homogênea. Como temos:
Vamos encontrar:
Passo 2
Aplicando a fórmula de Bháskara:
E sendo que no nosso caso temos: , vamos ter:
Beleza, encontramos esses valores para ! Assim, como temos suas raízes reais, nossa solução homogênea é da forma:
Passo 3
Vamos ver a solução particular agora! Se você observar, a parte não homogênea da equação (lado direito), é uma exponencial com . Então vamos chutar que nossa solução tem essa forma aqui:
Passo 4
Agora temos que comparar e . Veja que está na solução homogênea. Ele é exatamente esse termo: (porque são constantes).
Então o que fazemos? Multiplicamos a particular por até que ela fique diferente
Beleza, ficou diferente. Agora podemos seguir no passo a passo.
Vamos achar as derivadas, aqui a gente vai ter que usar a regra do produto:
Sendo que aqui: e :
Derivando de novo:
Passo 5
Agora vamos substituir a solução particular e suas derivadas na EDO. Teremos, então:
Como do lado de lá só temos , pegamos o termo que tem só do lado de cá e igualamos:
Devemos ter
A solução particular então é:
Passo 6
E como a solução geral é:
A nossa vai ser:
Passo 7
Agora é substituir as condições iniciais nas equações que temos para resolver o PVI.
Colocando em , temos:
Como :
Passo 8
Agora, vejamos o . Para isso, precisamos derivar , o que nos dá:
Colocando , teremos:
Passo 9
Agora, juntamos as duas equações e resolvemos o sistema:
Fazendo a de baixo menos a de cima, temos:
Substituindo esse valor para na primeira equação, temos:
Colocando esses dois valores na equação de , teremos:
Resposta
Exercício Resolvido #3
James Stewart – Cálculo Volume 2 – Tradução da 6ª edição americana. Capítulo 17 Seção 2 Problema 15
Escreva uma solução tentativa para o método dos coeficientes indeterminados. Não determine os coeficientes.
Passo 1
Olá, tudo bem?
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero. A solução geral vai ser a combinação linear da parte homogênea e a parte particular :
Passo 2
Com isso, a equação diferencial homogênea associada é:
E a equação característica associada é:
A solução é:
Temos duas raízes reais e diferentes, e a solução é:
Agora vamos encontrar a solução particular.
Passo 3
Nesse caso temos duas soluções particulares. Vamos começar com a primeira.
A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados. A função é , uma constante, e faz parte da solução da equação homogênea (ou também chamada de complementar), então uma possível solução vai ser uma constante vezes :
Passo 4
A segunda solução particular vai ser dada a partir da função é e não faz parte da solução da equação homogênea, sendo assim uma possível solução vai ser uma função de primeiro grau multiplicando uma exponencial:
Passo 5
E a solução tentativa vai ser a soma das duas:
Por enquanto é isso pessoal, essa é a solução tentativa😊
Vamos pra próxima?
Resposta
Exercício Resolvido #4
James Stewart – Cálculo Volume 2 – Tradução da 6ª edição americana. Capítulo 17 Seção 2 Problema 18
Escreva uma solução tentativa para o método dos coeficientes indeterminados. Não determine os coeficientes.
Passo 1
E aí, tudo joia?
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero. A solução geral vai ser a soma da parte homogênea e a parte particular :
Passo 2
Com isso, a equação diferencial homogênea associada é:
E a equação característica associada é:
As raízes são complexas do tipo a solução é:
Beleza? Aqui temos e . Vamos substituir os valores encontrados?
Show! Essa é a solução homogênea! Agora vamos encontrar a solução particular.
Passo 3
Nesse caso temos duas soluções particulares. Vamos começar com a primeira.
A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados.
A função é , uma exponencial, e não faz parte da solução da equação homogênea, então uma possível solução vai ser:
Passo 4
A segunda solução particular vai ser dada a partir da função é . então nossa tentativa seria da forma:
Mas essa solução faz parte da solução da equação homogênea, sendo assim devemos multiplicar por uma possível solução tentativa:
Perceba que a possível solução é a multiplicação entre um polinômio e a parte trigonométrica, visto que buscamos a solução para
Passo 5
E a solução tentativa vai ser a soma das duas:
Veja que o problema não pediu pra resolver, só para escrever a solução tentativa, que é essa aí😊
Por enquanto é isso pessoal😉
Resposta
Exercício Resolvido #5
EDO de 2ª ordem não homogênea
Determine a solução geral:
Passo 1
Opa! Bora ver mais essa?
A solução geral é dada pela soma entre a solução homogênea e a solução particular:
Bem, como de costume, vamos resolver a equação característica primeiro para determinar a homogênea:
Passo 2
Vamos usar a fórmula de Bháskara aqui:
Onde na nossa , temos :
Assim:
Temos então raízes complexas, e a solução vai ser da forma:
Onde a raiz complexa é: .
Assim a solução da homogênea então é dada por:
Passo 3
Beleza, agora temos que analisar a solução da particular, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, ok?!
Perceba que aqui temos uma função exponencial somada a uma função polinomial, vamos chutar polinomial do mesmo grau acrescida da exponencial:
Beleza, esse é o nosso chute para a solução particular, sendo que são coeficientes constantes que a gente vai achar.
Comparando a solução homogênea com a particular não vemos nenhum termo que se repete, então podemos ficar com esse palpite para a solução particular e seguir no passo a passo.
Passo 4
Agora derivando a solução particular:
Substituindo isso na EDO:
Juntando os coeficientes dos termos de mesmo grau:
Passo 5
Agora vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes de cada lado:
Substituindo isso na solução particular que encontramos:
Passo 6
E como a solução geral é dada por:
Temos:
E pronto! Encerramos mais essa😊
Resposta
Exercício Resolvido #6
EDO de 2ª ordem não homogênea
Resolva a EDO
Passo 1
E aí, pronto pra ver mais essa EDO?
Vemos uma EDO de segunda ordem, não homogênea, certo?
A solução geral é dada por:
Vamos ver a solução homogênea então, nossa !
Vamos pro polinômio característico, resolver a homogênea primeiro!
Passo 2
Vamos resolver aqui:
Como temos raízes complexas, nossa solução homogênea é da forma:
Sendo a raiz .
Assim a solução da homogênea da nossa é:
Passo 3
Agora temos que resolver a não homogênea, vamos usar o método dos coeficientes a determinar!
Analisando a parte polinomial, vemos que um bom chute seria:
E da parte trigonométrica, um bom chute seria :
Como temos um produto entre essas partes, nossa solução é um produto também!
Assim a solução particular é dada por:
Passo 4
Cuidado! Abre essa multiplicação rapidão. Você vai ver que quando você multiplica o por , vai ficar uma constante vezes , ou seja, ficou com a mesma cara que a solução homogênea.
A mesma coisa acontece pro , por causa disso, vamos multiplicar tudo por , pra ficar diferente!
Agora sim! Vamos achar o valor dessas constantes, para isso vamos multiplicar usando a distributiva ali:
Percebe que eu juntei as constantes: por exemplo, chamei de de novo, isso não muda nada, porque vamos determinar essas constantes agora, e essas são constantes arbitrárias.
Passo 5
Vamos derivar agora, pra isso a gente vai ter que usar a regra do Produto, tá bem? Ela é assim, só pra relembrar:
Então, por exemplo:
Vamos fazer isso em todos os termos!
Passo 6
A gente precisa derivar de novo agora! Do mesmo jeito, sem esquecer a regra do produto!
Fica essa lindeza aqui!
Passo 7
Substituindo na EDO, no lugar de e :
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 8
Agora a gente vai igualar os termos correspondentes de cada lado:
Vamos lá, da quarta equação nós temos que:
Da segunda, nós temos que: , então:
Da terceira:
E já vimos na primeira que .
Passo 9
Uffa!! Ficou assim:
Então essa é a nossa solução particular!
Passo 10
Então a solução geral é:
Ufaaa! Até que enfim conseguimos hein!
Resposta
Exercício Resolvido #7
Elaboração Própria
Encontre a solução geral da equação diferencial abaixo:
Passo 1
E aí, como vai?
Olha só, a solução geral vai ser da forma:
Onde é a solução homogênea e é a solução particular.
Vamos começar encontrando a solução homogênea:
Vamos ver a equação característica:
Assim, a solução homogênea será:
Passo 2
Agora vamos encontrar pelo método dos coeficientes a determinar:
Agora é uma soma de diferentes funções:
- Função exponencial:
- Função trigonométrica:
- Função polinomial:
Então será também uma soma desses tipos de funções:
Passo 3
Verificar se a solução particular não é solução geral da equação homogênea:
Nessa EDO, essa solução não satisfaz a equação homogênea! Embora na homogênea tenha uma exponencial, são exponenciais diferentes. Uma é elevada a 2 e a outra a .
Então não precisamos modificar, pode seguir naquele formato ali mesmo!
Passo 4
Agora vamos encontrar derivadas de , lembra da regra do Produto e regra da Cadeia:
Por exemplo:
Fazendo o mesmo para a segunda derivada, temos:
Passo 5
Substituir na equação e encontrar constantes:
Poderíamos substituir diretamente as derivadas e comparar os dois lados para encontrar as constantes:
Mas acho que fica mais claro e organizado se separarmos por cada tipo de função:
- Exponencial
- Trigonométrica
- Polinomial
E agora substituindo apenas a parte exponencial:
Passo 6
E agora substituindo apenas a parte trigonométrica:
Resolvendo o sistema:
Passo 7
E agora substituindo apenas a parte polinomial:
Resolvendo o sistema:
Passo 6
Ótimo! Encontramos todas as constantes:
Vamos jogar isso lá na agora!
Passo 7
Substituindo constantes encontradas em :
Substituindo as constantes:
Passo 8
Como sabemos que a solução geral é dada por:
Substituindo o que achamos, temos:
Prontinho!
Resposta
Exercício Resolvido #8
EDO de 2ª ordem não Homogênea
Resolva a EDO de segunda ordem:
Passo 1
Oiii! Vamos continuar com nossas EDOs!
A equação é não homogênea, então a solução geral é
onde é a solução homogênea e é a solução particular.
Vamos começar achando a solução homogênea ! A equação homogênea é a mesma, mas com do lado direito:
A equação auxiliar é:
Resolvendo
Temos
Então a solução homogênea da equação é:
Passo 2
Show, achamos a homogênea, mas agora que o bicho pega, vamos achar a solução particular! Lembrando que a equação é:
Temos que determinar qual vai ser o nosso “chute” pra . Vamos começar identificando a função do lado direito da equação.
Temos uma função exponencial multiplicando uma trigonométrica, então nossa solução particular também vai ser algo do tipo!
Passo 3
Como a função não é solução da equação homogênea, podemos tentar aquela solução do passo anterior mesmo.
Toma cuidado para não confundir, na solução homogênea temos , na particular temos !
Passo 4
Show! Vamos achar a primeira derivada da função, usando as regra do produto e regra da cadeia:
Dando uma ajeitadinha nisso, temos:
Juntando os termos que acompanham e , temos:
Passo 5
Agora é arregaçar as mangas e calcular essa derivada segunda, pelos métodos de derivação!
Ajeitando isso daí, ficamos com
Podemos deixar menos feio, fazendo as distributivas
Juntando os termos que acompanham e , temos:
Finalmente, ficamos com:
Ufa! Demorou mas foi!
Passo 6
Agora vamos substituir , e na EDO:
O que dá esse troço bizarro aí:
A primeira coisa que podemos fazer é cortar dos 2 lados:
Melhorou um pouco né? Agora vamos juntar todos os senos e cossenos:
Eeee laiá, coisa feia que dói!
Passo 7
Repare que do lado direito temos
Ou seja, quando igualarmos os termos que acompanham seno e o cosseno, vamos cair num sistema:
Podemos multiplicar a primeira equação por 2 e somá-la com a segunda:
E pela segunda equação, temos
Passo 8
Então solução particular é:
Lembrando que achamos a solução homogênea
Logo, a solução geral da equação vai ser
Resposta
Exercício Resolvido #9
Denis G. Zill, Equações Diferenciais Volume I , 3ª ed. São Paulo: PEARSON, 2001, pp. 217 - 29
Sabendo-se que formam um conjunto fundamental de soluções para em , encontre a solução geral para:
Passo 1
Vamos relembrar o passo a passo do método da variação dos parâmetros:
- Arruma a EDO para ficar com a cara:
- Resolver a EDO como se fosse homogênea – solução homogênea: ,caso o problema não forneça a solução da homogênea.
- Identificar e
- Encontrar a cara da solução particular
- Calcular e
- Calcular
- Calcule
- Encontrar solução geral:
- Substituir condições iniciais caso exista
Não fica preocupado que a gente vai passar por todos esses passos na nossa questão!
Passo 2
Vamos começar com o primeiro!
Colocando a equação na forma: )
Dividindo tudo por , temos:
Passo 3
Vamos resolver a EDO como se fosse homogênea – solução homogênea: ,caso o problema não forneça a solução da homogênea.
O problema já fornece a solução da homogênea. Temos então, identificando e , temos:
Passo 4
Agora vamos encontrar a cara da solução particular
A solução particular será:
Passo 5
Seguindo nosso passo a passo, vamos calcular e
Passo 6
Bora calcular Calcular
Como já temos esses termos, ficamos com
Passo 7
Agora vamos cair pra cima de
Temos:
Como resolver essa integral? Vamos usar a substituição simples:
Substituindo na integral temos:
Cortando os , temos:
Voltando , ficamos com
Agora para , vamos ter
Vamos fazer uma substituição simples:
Substituindo:
Passo 8
Logo, para nosso então temos:
Passo 9
Encontrar a solução geral:
Sabemos que :
Logo:
Então:
Resposta
Exercício Resolvido #10
Denis G. Zill, Equações Diferenciais Volume I , 3ª ed. São Paulo: PEARSON, 2001, pp. 218 - 32
Sabendo-se que são soluções linearmente independentes para em ,
- Encontre a solução particular para:
- Dê a equação solução geral para a equação e defina um intervalo para que esta seja válida
Passo 1
Vamos relembrar o passo a passo do método da variação dos parâmetros:
- Arruma a EDO para ficar com a cara:
- Resolver a EDO como se fosse homogênea – solução homogênea: ,caso o problema não forneça a solução da homogênea.
- Identificar e
- Encontrar a cara da solução particular
- Calcular e
- Calcular
- Calcule
- Encontrar solução geral:
- Substituir condições iniciais caso exista
Passo 2
Seguindo exatamente esses passos temos:
- Colocando a equação na forma: )
- O problema já fornece a solução da homogênea.
- Temos então:
- A solução particular será:
- Calculando :
- Calculando temos:
- Calculando:
Temos:
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Passo 5
Pela regra da cadeia:
Também pela regra da cadeia:
Passo 6
Já achamos esses termos anteriormente, substituindo eles, temos:
Dando uma ajeitadinha ai, temos:
Agora, pela relação fundamental da trigonometria:
Portanto,
Passo 7
Temos:
Sabemos ainda que:
Substituindo:
Alguém sabe como resolver isso? Essa integral é meio chatinha mas dá pra fazer.
Vamos começar fazendo a substituição:
Substituindo:
Agora vamos fazer mais uma substituição:
Substituindo temos:
Passo 3
Agora, calculando , temos:
Temos que lembrar que:
Então:
Pois estamos trabalhando com o intervalo
Logo:
Passo 4
Agora que matamos a letra , vamos partir para a
- Vamos Encontrar a solução geral:
Sabemos que :
Logo:
Então, a solução geral que é
Passo 5
Já encontramos a equação geral mas agora temos que encontrar um intervalo para o qual a equação geral esteja válida. Ou seja, devemos encontrar um intervalo em que todos os termo da EDO devem existir:
Lembre que a função não está definida nos pontos e
Lembrou? Não? Então pra confirmar isso pense no seguinte:
Portanto, não está definido nos pontos onde e dois desses pontos são e . Deu pra entender agora?
Então um intervalo possível seria
Mas na verdade não temos temos .Portanto, um intervalo possível é
Vamos achar um intervalo para .
Para isso, vamos aplicar a exponencial em todos os termos temos que o intervalo é equivalente a:
Resposta
No intervalo