EDOs Não-Homogêneas (Polinômios)
Teoria
Módulo 2
Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Equações Diferenciais Elementares – Boyce - 10ª ed – Capítulo 3 – Seção 5 – Problema 3
Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
E aí, tudo bem?
A gente quer encontrar a solução geral desse problema. Pra começar, vamos lembrar que a solução geral é dada por:
Onde é a solução homogênea e é a solução particular.
Vamos primeiro fazer a homogênea, beleza?
Passo 2
Pra achar a solução homogênea, vamos resolver a EDO homogênea associada:
Que podemos escrever assim:
Vamos usar Bhaskara para resolver essa parte aqui!
Passo 3
A fórmula é assim:
No nosso caso, temos .
Já que temos 2 raízes reais, nossa solução homogênea vai ter essa forma aqui:
A nossa então é:
Passo 4
Vamos agora achar nossa solução particular. Veja que do lado direito da igualdade, temos:
Ou seja, um polinômio de 2º grau. Nada mais justo então que a nossa solução particular ser um polinômio de 2º grau também, não acha?
Vamos chutar um:
Como essa solução não está presente na solução homogênea, podemos utilizar essa mesmo, basta acharmos os coeficientes .
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de :
Show! Vamos substituir isso agora na nossa EDO!
Passo 6
A EDO é:
Substituindo...
Desenvolvendo...
Reagrupando, ficamos com:
Igualando os termos correspondentes de cada lado, temos:
Passo 7
Vamos resolver esse sisteminha...
Da segunda, tiramos que:
Substituindo na primeira:
E substituindo na terceira, encontramos :
Passo 8
Substituindo esses valores na nossa solução particular, achamos:
E como a solução geral é:
Juntando as duas, encontramos:
E acabamos por aqui😊
Resposta
Exercício Resolvido #2
Boyce. Equações Diferenciais. 10ª Edição. Capítulo 3. Seção 5. Exercício 16 (Adaptado)
Encontre a solução geral da equação diferencial
Passo 1
E aí, bora ver mais esse probleminha?
Vamos encontrar a solução geral, lembrando que:
Sendo que é a solução homogênea e é a solução particular.
Vamos focar na solução homogênea primeiro, ok?
Bora lá!
Passo 2
Para resolver a EDO homogênea, devemos achar a equação característica da EDO. Para isso, passa a ser e é o termo independente.
Para resolver essa equação do 2º grau, encontraremos o e utilizaremos a fórmula de Bhaskara .
Sendo que , e .
Substituindo na fórmula de Bhaskara.
Passo 3
Como temos soluções complexas, a solução da EDO homogênea será:
Onde e . Então a nossa:
Passo 4
Para achar a solução particular, vamos supor uma solução do tipo:
Substituiremos na EDO do problema para assim, determinar as constantes A e B.
Primeiro vamos derivar :
Passo 5
Vamos pegar nossa EDO:
E vamos fazer:
Para manter a igualdade
Logo,
Então,
Passo 6
A solução da EDO será
Passo 7
Vamos aplicar a condição inicial agora:
Usando a primeira:
Então...
Passo 8
E pra usar a segunda condição temos que derivar a solução geral:
Então:
Nossa solução geral do PVI então é:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Boyce. Equações Diferenciais. 10ª Edição. Capítulo 3. Seção 5. Exercício 9. (Adaptado)
Encontre a solução geral da equação diferencial
Passo 1
Opa, tudo joia?
A gente quer achar a solução geral da EDO, lembrando que a solução geral é dada por:
Onde é a solução homogênea, e é a solução particular.
Vamos encontrar primeiro a solução homogênea, beleza?
Passo 2
A EDO homogênea aqui é: 2 .
Para resolver a EDO homogênea, devemos achar a equação característica da EDO. Para isso, passa a ser , passa a ser e é o termo independente.
.
Para resolver essa equação do 2º grau, encontraremos o e utilizaremos a fórmula de Bhaskara .
Sendo que , e .
Substituindo na fórmula de Bhaskara.
e
Passo 3
Como temos duas raízes reais, a solução da EDO homogênea será:
Ótimo! Vamos ver a particular agora!
Passo 4
Para achar a solução particular, vamos supor uma solução do tipo:
Já que do outro lado temos , que é um polinômio de 2º grau.
Derivando
Substituiremos na EDO do problema para assim, determinar as constantes A, B e C.
Passo 5
Resgatando nossa EDO:
Substituindo...
Para manter a igualdade,
Com isso, resolvendo o sistema
Logo,
Passo 6
A solução da nossa EDO então será:
Prontinho! 😉
Resposta
Exercício Resolvido #4
Capítulo 3, Seção 5, exercício 32 (Adaptado)
Resolva a equação diferencial
com condições iniciais e .
Passo 1
Opa! Assutou com essas chaves ali? Fica tranquilo, vem comigo!
A solução geral será dada por :
Onde é a soluçõa homogênea e é a solução particular.
Primeiro vamos encontrar a equação característica para a parte homogênea da função:
Pra resolver isso a gente usa a boa e velha fórmula de Bhaskara:
Sendo que aqui, :
Passo 2
Temos então duas raízes complexas, e a solução homogênea nesse caso é da forma:
Onde (parte real) e (parte imaginária), no nosso caso. Então:
Essa é a solução homogênea, que é a solução para o intervalo 😊
Passo 3
Vamos ver a parte particular agora.
Vamos focar nessa aqui então, no intervalo :
Vamos chutar uma solução assim:
Aí temos:
Colocando essas expressões na EDO, obtemos:
A solução particular então é:
Passo 4
E como a solução geral é dada por :
Juntando as duas, temos:
Passo 5
Aplicando nas condições dadas:
Determinando a primeira derivada da solução geral:
Aplicando a condição dada:
Substituindo :
Então... a solução geral no intervalo será:
Resposta
Para :
Para :
Exercício Resolvido #5
James Stewart – Cálculo Volume 2 – Tradução da 6ª edição americana. Capítulo 17 Seção 2 Problema 4
Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1
Olá, tudo bem?
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero. A solução geral vai ser a combinação linear da parte homogênea e a parte particular :
Passo 2
Vamos primeiro encontrar a solução da parte homogênea. A equação diferencial homogênea associada é:
Pra isso a gente começa resolvendo essa equação associada aqui:
Para resolver essa equação vou usar a fórmula de Bháskara:
Onde aqui no nosso caso temos:
Aqui temos duas raízes reais e iguais, então a solução vai ser:
Agora vamos determinar a solução particular?
Passo 3
A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados.
A função é , e não faz parte da solução da equação homogênea (ou também chamada de complementar), então uma possível solução vai ser um polinômio de primeiro grau:
Definida a solução tentativa, agora o procedimento é padrão: derivar uma e duas vezes a função , substituir na equação diferencial completa e igualar os coeficientes. Vamos lá?
As derivadas vão ser:
Resgatando a equação diferencial temos:
Passo 4
Agora substituindo e na equação diferencial temos:
Reorganizando os termos temos:
Igualando os coeficientes dos dois lados ficamos com o seguinte sistema:
Da primeira equação temos o valor de
E da segunda o valor de :
E a solução particular é:
Passo 5
Show! Agora é só juntar todos os resultados! Do passo temos a solução e do passo temos . Vai lá ao passo e pega a solução geral:
Substituindo os resultados teremos:
E prontinho! 😊
Resposta
Exercício Resolvido #6
Boyce. Equações Diferenciais. 10ª Edição. Capítulo 3. Seção 5. Exercício 15.
Encontre a solução geral da equação diferencial
Passo 1
Opa! Vamos ver mais essa?
O objetivo desse exercício é determinar a solução geral da EDO dada. Para isso, utilizaremos o Método dos Coeficientes Indeterminados.
A solução geral é dada por:
Onde é a solução homogênea e é a solução particular.
Primeiramente, vamos determinar a solução da EDO homogênea (). Lembrando que a EDO homogênea é .
Passo 2
Para resolver a EDO homogênea, devemos achar a equação característica da EDO. Essa aqui:
Para resolver essa equação do 2º grau, encontraremos o e utilizaremos a fórmula de Bhaskara .
Sendo que , e .
Com isso em mãos vamos determinar as raízes da equação características.
Substituindo na fórmula de Bhaskara.
e
Passo 3
Como temos duas raízes reais, a solução da EDO homogênea será:
Beleza, vamos continuar...
Passo 4
Para achar a solução particular, vamos supor uma solução do tipo:
Já que temos um polinômio ali do outro lado.
Que satisfaz a equação
Vamos calcular a primeira e segunda derivadas de então:
Substituindo na EDO:
Passo 5
Para manter a igualdade,
Logo,
Portanto, a solução particular da EDO será
Passo 6
A solução da EDO então será:
Passo 7
Aplicando a condição inicial agora:
E a outra condição:
Derivando a solução geral que encontramos:
Temos então o seguinte sistema de equações,
Passo 8
Resolvendo o sistema de equações, da primeira temos:
Substituindo na segunda:
E daí temos:
Ou seja:
Logo,
É a solução da EDO😊
Resposta
Exercício Resolvido #7
Boyce. Equações Diferenciais. 10ª Edição. Capítulo 3. Seção 5. Exercício 15.
Encontre a solução geral da equação diferencial
Passo 1
Opa! Vamos ver mais essa?
O objetivo desse exercício é determinar a solução geral da EDO dada. Para isso, utilizaremos o Método dos Coeficientes Indeterminados.
A solução geral é dada por:
Onde é a solução homogênea, e é a solução particular.
Vamos começar pela homogênea, beleza?
Passo 2
A parte homogênea associada é essa aqui:
Para resolver a EDO homogênea, devemos achar a equação característica da EDO. Para isso, passa a ser , passa a ser e é o termo independente.
Para resolver essa equação do 2º grau, encontraremos o e utilizaremos a fórmula de Bhaskara:
Sendo que , e .
Substituindo na fórmula de Bhaskara.
e
Passo 3
Como temos duas soluções reais, a solução da EDO homogênea será:
Beleza, vamos continuar para a particular!
Passo 4
Para achar a solução particular, vamos supor uma solução do tipo:
Já que do outro lado temos , de 1º grau.
Derivando , temos:
Vamos substituir isso na EDO agora!
Passo 5
Pegando a EDO lá do início:
Substituindo:
Igualando os termos correspondentes:
Logo,
Portanto, a solução particular da EDO será
Passo 6
A solução da EDO então será:
Passo 7
Agora falta aplicar as condições iniciais:
Utilizando a primeira:
Derivando a solução geral, temos:
E então podemos aplicar a segunda condição:
Passo 8
Temos então o seguinte sistema de equações:
Da primeira temos:
Substituindo na segunda:
E daí, temos:
Passo 9
Agora que achamos os valores das constantes, vamos substituir na solução geral que achamos:
E pronto! Essa é a solução do PVI pedido😉
Resposta
Exercício Resolvido #8
Resolva a equação diferencial:
Passo 1
E aí, pronto pra mais uma?
Queremos encontrar a solução geral, lembrando que:
Sendo que é a solução homogênea e é a solução particular.
Vamos fazer a solução homogênea primeiro, depois a gente ver a particular, show de bola?
Passo 2
Bom, para resolver a EDO homogênea, devemos achar a equação característica da EDO. Que aqui é essa:
Para resolver essa equação do 2º grau, encontraremos o e utilizaremos a fórmula de Bhaskara .
Sendo que , e .
Substituindo na fórmula de Bhaskara.
Passo 3
Como temos duas raízes reais, a solução da EDO homogênea será:
Beleza, a parte homogênea já foi, vamos para a solução particular agora!
Passo 4
Olhando para nossa EDO:
Vemos que do lado direito temos um polinômio de 2º grau, logo, nada mais justo que chutarmos uma solução que seja um polinômio de 2º grau também. Assim:
Como essa solução não está presente na parte homogênea, podemos usar essa mesmo! Onde são os coeficientes que a gente vai determinar😉
Passo 5
Vamos derivar nossa :
E agora a gente vai substituir na EDO...
Substituindo:
Passo 6
Igualando os termos correspondentes:
Passo 7
A solução particular então é:
E a solução geral, que é a soma da homogênea com a particular:
E pronto! Agora terminamos😊
Resposta
Exercício Resolvido #9
James Stewart – Cálculo Volume 2 – Tradução da 6ª edição americana. Capítulo 17 Seção 2 Problema 1
Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1
Olá, tudo bem?
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero. A solução geral vai ser a combinação linear da parte homogênea e a parte particular :
Bora ver isso então?
Passo 2
Vamos primeiro encontrar a solução da parte homogênea. A equação diferencial homogênea associada é:
Que podemos escrever como:
Para resolver essa equação vou usar a fórmula de Bháskara:
Onde aqui temos: :
Aqui temos duas raízes reais e diferentes, então a solução vai ser:
Passo 3
A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados. A função é , e não faz parte da solução da equação homogênea (ou também chamada de complementar), então uma possível solução vai ser um polinômio de segundo grau:
Definida a solução tentativa, agora o procedimento é padrão: derivar uma e duas vezes a função , substituir na equação diferencial completa e igualar os coeficientes. Vamos lá?
As derivadas vão ser:
Passo 4
Resgatando a equação diferencial temos:
Agora substituindo e na equação diferencial temos:
Reorganizando os termos temos:
Igualando os coeficientes dos dois lados ficamos com o seguinte sistema:
Passo 5
Da primeira equação tiramos o valor de :
Da segunda equação, temos o valor de :
Mas :
E por fim, substituindo os valores de e na terceira equação temos o valor de :
Pronto, determinamos os coeficientes e e a solução particular é:
Passo 6
Show! Agora é só juntar todos os resultados! Do passo temos a solução e do passo temos . Vai lá no passo e pega a solução geral:
Substituindo os resultados teremos:
Se fosse um problema de valor inicial, agora seria a hora de aplicar as condições iniciais! Mas aqui não é o caso! Paramos por aqui 😊
Resposta
Exercício Resolvido #10
James Stewart – Cálculo Volume 2 – Tradução da 6ª edição americana. Capítulo 17 Seção 2 Problema 20
Resolva a equação diferencial usando
- Coeficientes indeterminados e
- Variação de parâmetros.
Passo 1
Olá, tudo bem?
Vamos começar pelo método dos coeficientes indeterminados. Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero.
A solução geral vai ser a soma da parte homogênea e a parte particular :
Passo 2
Vamos primeiro encontrar a solução da parte homogênea. A equação diferencial homogênea associada é:
E a equação característica associada é:
E solução vai ser dada pela fórmula de Bháskara:
Aqui a solução homogênea vai ser uma combinação de exponenciais:
Passo 3
A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados. A função é , e não faz parte da solução da equação homogênea (ou também chamada de complementar), então uma possível solução é um polinômio de ordem um:
Definida a solução tentativa, agora o procedimento é padrão: derivar uma e duas vezes a função , substituir na equação diferencial completa e igualar os coeficientes. Vamos lá?
As derivadas vão ser:
Resgatando a equação diferencial temos:
Passo 4
Agora substituindo e na equação diferencial temos:
Reorganizando os termos temos:
Igualando os coeficientes dos dois lados ficamos com o seguinte sistema:
Daí tiramos os valores de e :
E a solução particular é:
E a solução geral vai ser:
Passo 5
Agora vamos resolver pelo método da variação de parâmetros.
Esse método consiste no seguinte: determinado duas soluções para a equação diferencial homogênea associada e , supõe-se que a solução particular vá ser uma combinação linear com parâmetros variáveis, dessa forma:
O sistema de equações que essa solução deve satisfazer, a saber, formam o seguinte sistema:
Onde é o coeficiente de e é a função que dá origem a solução particular. Resolvendo esse sistema de equações chegamos as seguintes equações para e :
E depois é só fazer a integração.
Passo 6
No nosso caso e (pela solução homogênea).
E as derivadas são e . E e também .
Então podemos calcular o denominador:
Assim fica:
Passo 7
E integrando em relação a temos:
A primeira parte da integral será resolvida por partes, e a segunda, por integração direta:
Fazendo , teremos :
Passo 8
E então:
E temos que:
Juntando tudo então temos:
E já vou calcular aqui pois vai ser útil depois!
Passo 9
Pronto, agora vamos calcular e posteriormente .
Da fórmula para do passo anterior temos:
E integrando em relação a temos:
Vamos integrar da mesma forma da outra integral, e temos:
Assim temos:
E o valor de pois vai ser:
Passo 10
Pronto! Agora vamos juntar os resultados dos passos anteriores e determinar a solução particular.
E a solução completa vai ser:
E é a mesma solução encontrada pelo outro método! 😊