Dependência Linear e Wronskiano

Fala aí, tudo joia?

Olha só, vamos tentar montar uma combinação linear com essas 3 funções, escrevendo assim:

Com pelo menos uma das 3 constantes diferentes de zero.

Vamos começar substituindo as funções ali...

Temos então:

Ajeitando temos:

Aí olha só, pra esses dois lados serem iguais, temos que igualar os termos de mesmo grau.

Do termo elevado ao quadrado temos:

Do termo de expoente 1:

Agora vamos substituir as constantes na equação :

Fica:

Portanto provamos que e são linearmente dependentes, pois quaisquer satisfazem a equação de combinação linear😊

Olá! Tudo bem?

Olha só: para que e sejam linearmente dependentes, temos de ter:

Para todo , com pelo menos uma das constantes diferente de zero.

Ou seja:

Tem que ser satisfeita para , que é o mesmo que , e para , que é mesmo que .

O caso onde , nos dá , então nesse intervalo elas são linearmente dependentes. Porém estamos analisando todo o intervalo .

Então vamos seguir...

Vamos analisar a situação :

Para , , então substituindo as equações:

Fica:

Ajeitando:

Igualando o termo constante do lado esquerdo com o do lado direito temos:

A única possibilidade é:

O que não satisfaz as condições para dependência linear pois para isso seria necessário que pelo menos uma das constantes fosse diferente de zero. Então nesse intervalo, elas são linearmente independentes.

Logo, e não são linearmente dependentes em , sendo então linearmente independentes😉

Opa, vamos lá!

A questão quer que as funções e sejam linearmente dependentes, ou seja,

Onde é uma constante qualquer. Aí vai ficar assim:

Bom, para isso acontecer, temos que e temos que

Olha, só temos um caso em que é possível termos essa última condição, que é quando

E aqui é só isso😊

Opa! Tudo bem?

Olha só, para determinar a relação de dependência entre as funções, precisamos calcular o wronskiano. Para isso, precisamos determinar as derivadas de:

Derivando usando a Regra do Tombo:

Então, o wronskiano será:

Calculando o wronskiano, dado pelo determinante dessa matriz:

Simplificando...

O wronskiano é diferente de 0. Logo, as funções são linearmente independentes.

E prontinho!

Fala aí, tudo beleza?

Observando as funções dadas no problema, não tem nenhuma que, de cara, podemos desconfiar que seja combinação linear das outras. Logo, para verificar a independência linear, vamos ter de calcular o Wronskiano das funções.

Para calcular o Wronskiano de 3 funções vamos ter que fazer o determinate dessa matriz aqui:

Portanto vamos começar calculando as derivadas. Em todas elas vamos usar a regra do Tombo, assim: .

Para :

Derivando de novo...

Para :

Derivando de novo...

Para :

Derivando de novo:

Vamos calcular o Wronskiano agora:

Entãoooo... como o Wronskiano nunca se anula no intervalo , podemos afirmar que e são Linearmente Independentes. 😊

Eita enunciado complicado hein?! Mas calma que só parece...

Vamos lá. A questão que a gente calcule esse determinante chamado Wronskiano.

Bom, primeiro, como temos três funções, que são:

Então, vamos ver como as funções ficarão ao serem derivadas até a segunda derivada.

Agora a gente vai jogar isso tudo na matriz, de acordo com a do enunciado:

Como a questão pediu no ponto em que , vamos substituir e ficar com:

(Obs:

Bom, vamos calcular esse determinante então:

Prontinho! 😊

Opa! Tudo joia?

Olha só, guarda o seguinte: para duas funções serem soluções de uma EDO, elas precisam ser linearmente independentes.

Então vamos checar se são soluções da EDO e depois veremos se elas são LI...

Vamos começar vendo se é solução. Temos que:

Substituindo na equação

Beleza ele é solução.

Vamos ver se também vai ser

Substituindo na equação

Pronto, as duas funções são soluções, precisamos ver agora se elas são soluções linearmente independentes.

Para ver se são linearmente independentes temos que calcular o Wroskiano e ver se ele é ou não zero.

O Wroskiano é o determinante abaixo

Substituindo nossas funções e suas derivadas:

Como ele é diferente de essas duas funções são soluções linearmente independentes e a solução da função vai ser

Logo essa afirmação é verdadeira! 😉

Opa, vamos lá?

A questão quer saber para qual valor de as nossas funções , , são linearmente dependentes. Bom, podemos usar o teorema do Wronskiano para nos ajudar aqui.

A carinha do Wronskiano é a seguinte:

As nossas funções são:

Precisamos das derivadas delas agora...

Essa derivadas são bem tranquilas né? Vai ficar assim:

E derivando de novo...

Bom, agora podemos substituir pelas nossas funções.

E aí vamos resolver o determinante dessa matriz:

E usando a identidade trigonométrica:

Temos:

Para serem linearmente dependentes, o valor do Wronskiano deve ser zero. Logo,

Logo, temos que !

E aí, tudo bem?

Para determinar a relação de dependência entre as funções, precisamos calcular o Wronskiano, que tem essa forma aqui:

Então, precisamos determinar as derivadas das funções:

Derivando:

Então, o wronskiano será:

Calculando o determinante:

Cortando os termos semelhantes:

O wronskiano é nulo. Logo, as funções são linearmente dependentes.

Para determinar a dependência entre elas, vamos utilizar 3 constantes na forma:

E para que elas sejam combinações lineares, pelo menos uma das constantes deve ser diferente de 0.

A sacada dessa questão é lembrar que

Então teremos que

Igualando os correspondentes:

E

Estabelecendo, por exemplo

Temos que

Então a relação de dependência entre as funções é

Opa! Vamos ver mais essa aqui?

Para determinar a relação de dependência entre as funções, precisamos calcular o wronskiano, que é assim:

Para isso, precisamos determinar as derivadas das funções:

Derivando :

Então, o wronskiano será:

Podemos calcular o wronskiano, utilizando o método de Laplace

Então

O wronskiano é diferente de 0. Logo, as funções são linearmente independentes.