EDOs Homogêneas com Coeficientes Constantes
Teoria
Módulo 2
Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
EDO de 2ª ordem homogênea
Determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem
Passo 1
Primeira coisa que vamos fazer aqui é colocar a EDO na forma :
Show, a equação já está na forma que queremos! Agora podemos escrever no formato da equação auxiliar e adequar a resposta ao caso que encontrarmos.
Passo 2
Colocando a equação no formato da equação auxiliar temos que:
Então, vamos trabalhar agora com a nossa nova equação:
Que é uma equação de grau.
Passo 3
Pra resolver essa equação, precisamos analisar quem é o nosso , ou seja, verificar se: , ou . Para isso, vamos lembrar do nosso amigo Bháskara, o qual usamos para encontrar as raízes da equação que está no formato:
Precisamos, então, encontrar , e . Comparando as equações:
Logo:
Passo 4
Já com os valores dos coeficientes em mãos podemos jogar na fórmula de
Ou seja,
Passo 5
Como , vamos trabalhar com raízes complexas pois:
Sendo que,
Pois,
Outra maneira de encontrar as raízes seria fazendo:
Mas isso é para esse caso, na maioria das vezes precisamos usar Bhaskara. Então já adiantei para você
Passo 6
Show! Encontramos então que nossas raízes são:
Logo:
Comparando com,
Temos que
Passo 7
Agora podemos colocar no modelinho de resposta que já vem pronto e só precisamos substituir os valores encontrados:
Resposta
Exercício Resolvido #2
EDO de 2ª Ordem Homogênea
Sabe-se que é a solução de . Quanto valem e ?
a) e
b) e
c) e
d) e
e) e
Passo 1
Olhando para a solução, vemos que se assemelha com a do terceiro caso, na qual na equação auxiliar, beleza? Onde a solução deve ser:
Então vamos comparar com a solução dada,
Vemos que e pois,
Então apesar de parecer que o sumiu, na verdade ele está ali disfarçado de 😉
Passo 2
Como as raízes da equação auxiliar são:
E, para que isso aconteça, a equação característica é:
Pois,
Passo 3
Agora temos que fazer o processo de passar da equação auxiliar para a equação diferencial, ou seja, colocar no formato de novamente.
Onde temos que,
Então,
Passo 4
Portando, comparando com a equação de solução dada:
Temos que:
Resposta
Letra
Exercício Resolvido #3
EDO de 2ª Ordem Homogênea
Considere a equação diferencial . Qual o valor de de modo a que a função seja solução da equação diferencial?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Para encontrar o valor de vamos jogar a função na EDO. Mas antes disso vamos encontrar as suas respectivas derivadas.
A primeira derivada de que é encontrada através da regra do produto que vai ser:
Ajeitando um pouquinho mais:
Passo 2
Fazendo agora a segunda derivada, temos que usar a regra do produto novamente:
E teremos:
Passo 3
Beleza, já temos nossas derivadas, então podemos jogar esses valores na equação, obtendo:
Para encontrar o valor de , vamos jogar o termo que tem ele, para o outro lado da equação, e juntar os termos semelhantes do lado esquerdo colocando o em evidência:
Como então podemos cortar dos 2 lados, o que dá:
Também podemos cortar o dos dois lados, ficando com
Assim,
Passo 4
Repare que se , podemos substituir na nossa equação diferencial:
Portanto,
Ou seja, se , a função é solução da equação, não importando o valor de , e não é isso que queremos!
Então para que seja sempre solução da EDO, para qualquer valor de , devemos ter .
Resposta
Alternativa (e)
Exercício Resolvido #4
UFRJ, Cálculo 2, P1 2013.1, questão 5 Múltipla Escolha
Escreva uma EDO de segunda ordem, linear, homogênea, com coeficientes constantes, com solução geral da forma , onde e são constantes arbitrárias.
Não existe EDO com as propriedades requeridas.
Passo 1
Montar a EDO a partir da solução é bem tranquilo! Lembra que temos 3 tipos de solução, certo?
Essas são as possíveis soluções a partir das EDOs homogêneas. Vamos dar uma olhada na cara da solução que temos
Opa, você vai concordar comigo que isso parece muito uma solução pra quando nosso , não é verdade?
Nesse caso se você for comparar, teríamos e certo?
Passo 2
Podemos então concluir que as raízes da equação auxiliar são:
Passo 3
Agora tem um detalhe muito importante pra gente! Como eu monto uma equação do segundo grau a partir de suas raízes?
Uma equação do segundo grau ela tem a forma
Agora vamos lembrar que é a soma das raízes e é o produto
Substituindo nossas raízes nesse formato da equação de segundo grau, nossa equação característica fica então:
Desenvolvendo, teremos:
Vamos lembrar que logo
O que nos dá a EDO:
Então a correta é a letra !
Resposta
Letra
Exercício Resolvido #5
Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno 10ºEd. – W.E. Boyce/ R.C.DiPrima Ex. 3.9 pp 202 (Adaptada)
Encontre a solução do problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando aumenta.
Passo 1
Vamos começar então lembrando que devemos trocar nossa EDO pela equação auxiliar, certo? Onde trocamos
Ficamos então com
Resolvendo essa equação do segundo grau teremos inicialmente para o delta
Onde esses são os termos da equação do segundo grau, na forma
Observamos então que
Tranquilo? Bora calcular nosso delta então
Passo 2
Bom, haverá duas soluções para nossa equação. Supondo então que nossa solução é dada por , temos que nossa solução geral será
e
Ficando com e . Substituindo em nossa EDO, temos que
Caímos em uma equação de segundo grau. Resolvendo pelo método de Bhaskara, chegamos que
Presta atenção aqui que nosso delta é positivo. Teremos diferentes tipos de soluções de acordo com o delta, lembra? As possíveis soluções são
Já sabemos que nosso delta é positivo! Vamos agora calcular o valor de
Tendo como raízes e . Assim, temos que nossa solução geral para a EDO dada é (já que o delta é maior que zero)
Nós já temos os valores de e , então agora é só ser feliz substituindo no formato acima:
Passo 3
Aplicando as condições de contorno (para podermos descobrir os valores das constantes), temos
Logo,
Para derivar isso vamos aplicar a regra do produto no produto com o e no produto com o .
Bora lá então, agora vamos substituir os valores iniciais pra descobrirmos o valor das constantes. O enunciado nos deu
Então temos
Lembrando que o exponencial de zero vale 1, certo??
Agora pra a derivada
Opa, temos duas equações e duas incógnitas! Isso significa que conseguimos descobrir o valor dessas constantes aí montando um pequeno sistema de equações:
Se nós multiplicarmos a segunda equação por (-1), teremos
Agora somamos as duas equações
O que nos dá
Opa, já temos o valor de então já podemos descobrir o basta substituir em uma das duas equações que temos.
Passo 4
Maravilha! Já temos então o valor das duas constantes. Agora é só substituir na solução que tínhamos.
Assim nossa equação que satisfaz a EDO é
E o gráfico é algo desse tipo
onde com o aumento de , aumenta exponencialmente. Tranquilo???
Resposta
Exercício Resolvido #6
Elaboração Própria
Encontre a solução do problema de valor inicial abaixo:
Passo 1
Vamos começar bem tranquilinho aqui, simplesmente colocando nossa EDO na forma :
Legal! A equação já está na forma que queremos e podemos usar a equação característica:
Passo 2
Para resolver vamos encontrar , e :
Comparando as equações:
Logo:
Passo 3
Verificando o discriminante: , ou ?
Lembra que dependendo do valor do delta, temos diferentes tipos de soluções? Só relembrando rapidinho aqui com você
Onde
Pra nossa questão então temos
Passo 4
Agora vamos encontrar as raízes da equação auxiliar:
Onde o cálculo das raízes é:
Passo 5
Show, agora colocamos essas raízes na solução:
Lembrando que esse será nosso tipo de solução por que inicialmente tínhamos o
Substituindo os valores de :
Resolvido! Agora pra fechar bonito, precisamos descobrir os valores das constantes.
Passo 6
Resolvendo o PVI:
Teremos que calcular a derivada:
Substituímos o
E colocamos os valores iniciais fornecidos:
Isso nos ajuda a encontrar um sistema do tipo:
Vamos multiplicar a primeira equação por (-2). Concorda que assim quando formos somar as duas equações o termo vai sumir? E é isso que queremos.
Agora podemos somá-las.
Agora só substituir o valor de em qualquer uma das duas equações pra achar o valor de
Logo:
Agora é só substituir as constantes na solução geral:
E partir pro abraço! rsrs
Resposta
Exercício Resolvido #7
EDO de 2ª Ordem Homogênea
Seja a equação diferencial Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
(a) A função é a única solução de verificando e .
(b) O real é raiz simples da equação característica associada.
(c) A função é uma solução de verificando e .
(d) A função é solução de .
(e) Nenhuma das outras alternativas.
Passo 1
Dando uma olhada nas alternativas, parece que o melhor jeito de proceder é resolver a EDO mesmo (nem sempre é o caso!). Então partiu, vamos começar substituindo a EDO pela equação auxiliar!
já está na forma com , e .
Então o discriminante é:
E a equação auxiliar terá::
Como , a solução é da forma
Para nosso caso: então
Passo 2
Beleza, agora vamos testar as alternativas uma por uma:
Alternativa (a):
Ela dá a função . Podemos ver que ela se encaixa na forma que a gente achou:
Ou seja, essa é solução da EDO.
Agora resta saber se essa é a única solução respeitando as condições e .
Vamos calcular a derivada da solução que achamos:
Ou seja:
E como :
Concluímos que a função dada pela alternativa (a) realmente é a única solução da EDO verificando e . Portanto a alternativa é verdadeira.
Passo 3
Alternativa (b):
Ela diz: “O real é raiz simples da equação característica associada.”
A equação característica é
Podemos ver que é uma raiz dupla, e não simples, da equação, portanto a alternativa é falsa.
Passo 4
Alternativa (c):
Vimos no passo 2 que a única função solução da EDO verificando o verificando e é a da alternativa (a). Portanto essa alternativa é falsa.
Passo 5
Alternativa (d):
Ela afirma que “a função é solução de ”. Nós achamos a forma geral de solução da EDO, que é
A função não se encaixa na forma que achamos (tem um termo ), então a alternativa (d) é falsa.
E a alternativa (e) também está errada porque vimos que a (a) está certa.
Resposta
Alternativa (a)
Exercício Resolvido #8
Questão 2: Determine todos os valores de para os quais o seguinte problema da EDO com condições de contorno tem ao menos uma solução diferente de .
Passo 1
Bora lá então pra começar essa questão vamos colocar a EDO na forma que nós estamos acostumados a trabalhar, ou seja
Montando agora a equação característica:
Resolvendo essa equação encontrando primeiro o delta:
Onde no nosso caso,
Então agora vamos começar a analisar cada situação para !
Passo 2
Observa que nós não sabemos o valor de Então, vamos supor valores que façam com que o seja maior, igual ou menor que zero, afinal de contas é o valor de delta que vai determinar qual nosso tipo de solução. Se então a solução da equação característica é...
Então a solução da EDO é...
Aplicando as condições de contorno...
Além disso...
A única forma disso ser é se , certo? Então não rola, neh? Pois queremos soluções diferentes de zero, como o enunciado pediu!
Passo 3
A outra situação possível é se ...
Então a solução da EDO:
Aplicando as condições de contorno...
E
A única forma disso ser é se e novamente isso não rola!
Passo 4
A última situação é se , então teremos uma resposta para a equação característica imaginária:
Observa que colocamos o delta no módulo e tiramos o , por que assim sabemos que aquela raiz terá um valor real positivo.
Assim, a resposta da EDO será:
Aplicando as condições...
E
Como o a gente não quer que seja ...
Como , então...
E a solução da Edo será:
Resposta
Exercício Resolvido #9
Seja uma constante. Se é uma solução não nula da equação , então :
- Não existe e tende a
- Existe e vale
- Não há dados suficientes para calcular
- Não existe e tende a
- Existe e vale
Passo 1
Vamos olhar essa EDO com carinho, ela é a mesma coisa que , certo? Só tá escrito de um jeitinho diferente. É uma EDO de segunda ordem da qual a gente consegue achar a solução para todos os casos de da equação característica. Por isso a gente consegue calcular depois .
O problema é que precisaremos fazer esse limite para todos os casos de delta, porque não sabemos o valor de Ele variando, podemos ter positivo, negativo ou nulo, e sabemos que a solução muda de acordo com o valor de delta. Lembra de cada uma das possíveis soluções? Bora relembrar aqui rapidinho
Então o que a gente vai fazer é achar para cada caso e calcular o limite para ver no que dá.
Passo 2
A equação característica dessa EDO fica assim:
Achando as raízes da equação por bhaskara:
Passo 3
Agora a gente precisa achar para o caso :
Sabendo que (como relembramos lá no passo 1):
Sendo:
Ficamos com:
Passo 4
Agora fazemos , com muita coragem e atenção:
Vamos olhar com calma para esses expoentes. Momento de muita atenção. Lembra que: e esse é para o caso de . Logo:
Com isso a gente já percebe que esse coeficiente é positivo, porque é uma soma de dois termos positivos (, pelo enunciado).
Vamos analisar o outro expoente:
Já sabemos que é positivo, mas será que ele é maior que ?
É sim! Concorda comigo que . Se eu diminuo esse de algum valor, como , vamos ter que . Então esse expoente também é positivo.
Ficamos então com:
Sabendo que :
Passo 5
Vamos para o caso .
Para essa situação,
Então,
Passo 6
Calculando o limite:
Vamos calcular o limite de cada termo da soma separadamente. Como :
Calma, vamos usar L’Hospital:
Ufa! Conseguimos. Vamos para o outro termo:
Se os termos zeraram,
Passo 7
Para finalizar, vamos olhar o caso . Para isso:
Sendo:
Passo 8
A gente precisa calcular:
Como cosseno e seno são funções limitadas, a gente pode tentar calcular primeiro.
Sabemos que então:
Voltando para o limite inicial:
Pelo teorema do anulamento.
Perceber que o seno e cosseno são funções limitadas é muito importante agora para conseguir resolver esse limite! Assim temos que zero vezes uma função limitada não cai em nenhuma indeterminação, é simplesmente zero mesmo.
Então, nossa alternativa certa é a letra e.
Resposta
Letra e
Exercício Resolvido #10
Encontre todos os valores de , e todas as soluções associadas, para os quais existem soluções não-nulas do problema de valor de contorno (para ):
Passo 1
Vamos começar então resolvendo essa EDO de segunda ordem...
Por equação característica:
Nesse caso não temos um mas não tem problema! Sem o da pra fazer ainda tranquilo do mesmo jeito.
Temos, , e
Assim, as raízes se tornam:
Substituindo encontramos:
Agora vamos analisar cada caso dependendo do valor de , que no caso é desconhecido (até o momento ;).
Passo 2
1º - Caso :
Caso isso aconteça,
São valores reais e diferentes entre si e, portanto, a solução será:
Aplicando a primeira condição de contorno de que...
Para a segunda , como estamos falando de derivada, precisamos derivar rapidinho a solução:
Substituindo agora...
Pow, como esse termo dos parênteses não é ...
Logo
Essa é uma solução trivial e que não queremos, lembra que queremos não-nulas! Então analisemos o outro caso...
Passo 3
2º - Caso :
Nesse caso, a solução da equação característica será:
Nesse caso, o modelo de resposta para a EDO é assim:
Substituindo a primeira condição...
Derivando e substituindo a segunda...
Novamente ganhamos a solução trivial:
Mas não desista pois ainda temos mais um caso para analisar!
Passo 4
3º - Caso :
Nesse caso, teremos uma solução imaginária para a Equação característica...
E, portanto, o modelo de solução da EDO é assim:
Substituindo a primeira condição...
Derivando e substituindo a segunda...
Como não queremos a solução trivial novamente, precisamos que...
Logo...
Ora, quando esse cosseno zera? Quando...
Ou seja...
Logo, os valores são...
Para a solução, basta substituir aqui os valores de e de :
Na solução então podemos desconsiderar o , então...