Achar as seguintes integrais, aplicando-se as regras principais 1), 2) e 3) e as fórmulas de integração:

∫ 3 x e x d x

Passo 1

Integrais!

Nesse caso, precisamos usar a integração por partes. Lembrando que?

∫ u ∂ v = u v - ∫ v ∂ u

Assim, escolhemos u e ∂ v , da integral, de forma que saibamos derivar o u e integrar o ∂ v com facilidade.

Vamos escolher então:

u = 3 x                           ∂ v = e x d x

∂ u = 3 x ln ⁡ 3 d x               v = e x                

Assim, teremos:

∫ u ∂ v = u v - ∫ v ∂ u

∫ 3 x e x d x = 3 x e x - ∫ e x 3 x ln ⁡ 3 d x

∫ 3 x e x d x = 3 x e x - ln ⁡ 3 ∫ 3 x e x d x

Passo 2

E agora?! Voltamos na mesma integral!! Socorro!Calma! Calma!Vamos manipular os termos, e juntar as duas integrais no mesmo lado... Se liga.

∫ 3 x e x d x + ln ⁡ 3 ∫ 3 x e x d x = 3 x e x

∫ 3 x e x d x 1 + ln ⁡ 3 = 3 x e x

∫ 3 x e x d x = 3 x e x ( 1 + ln ⁡ 3 ) + C

Resposta

Em alguns casos, quando usamos integrais por partes, caímos nessa situação em que a mesma integral aparece de novo. Mas, como deu pra ver, não é nenhum bicho de sete cabeças. Aliás, fica até mais fácil do que se fosse continuar desenvolvendo mais.

∫ 3 x e x d x = 3 x e x ( 1 + ln ⁡ 3 ) + C