Com auxílio do Exercício 17, resolva a equação dada.

x 6 y ' ' - k 2 + 3 4 x 4 y = 0 ,   x ≠ 0

Passo 1

Queremos usar o resultado do exercício 17 para resolver a equação:

x 6 y ' ' - k 2 + 3 4 x 4 y = 0 ,   x ≠ 0

No exercício 17 vimos que a solução da equação

y ' ' = h ' ' x h x + k 2 h x 4   y

é

y = h x k 1 e p x + k 2 e - p x

onde

p ' x = k h x 2

Assim, temos identificar quem é h e p nesse para a equação:

x 6 y ' ' - k 2 + 3 4 x 4 y = 0

Passo 2

Isolando y ' ' :

y ' ' = 3 4 x 2 + k 2 x 6   y

Comparando com

y ' ' = h ' ' x h x + k 2 h x 4 y

vemos que

h x 4 = x 6 ⇒ h x = x 6 / 4 = x 3 / 2

Portanto,

h ' x = 3 2 x 1 2 ⇒ h ' ' x = 3 4 x - 1 2

Logo,

h ' ' x h ( x ) = 3 4 x - 1 2 x 3 / 2 = 3 4 x 2

Até aqui, tudo OK 😊

Como

p ' x = k h x 2

temos que

p ' x = k x 3 2 2 = k x 3

Passo 3

Integrando com relação a x :

p x = ∫ k x 3   d x = - k 2 x 2

Portanto,

y = h ( x ) k 1 e p x + k 2 e - p x = x 3 2 k 1 e - k 2 x 2 + k 2 e - k 2 x 2

Desta forma, a solução geral da equação é

y x = x 3 2 k 1 e - k 2 x 2 + k 2 e - k 2 x 2

Resposta

y x = x 3 2 k 1 e - k 2 x 2 + k 2 e - k 2 x 2

Ver Outros Exercícios desse livro