Calcule e interprete geometricamente o resultado obtido

Letra e)

l i m n → + ∞ ∬ A n e - x 2 + y 2 d x d y

Onde A n é o circulo

x 2 + y 2 ≤ n 2

Onde n ≥ 1

Passo 1

O circulo que representa a superfície A n é

Passo 2

Vamos resolver este limite composto por uma integral dupla na forma polar onde, o ângulo θ varia de 0   r a d a 2 π   r a d .

O raio obedece a restrição

x 2 + y 2 ≤ n 2

Logo

ρ = x 2 + y 2

E os diferenciais d x d y serão substituídos por ρ d ρ d θ

Passo 3

Desta forma a integral pode ser reescrita como

∬ A n e - x 2 + y 2 d x d y =   ∬ A n e - ρ ρ d ρ d θ

Ou ainda

∫ 0 2 π d θ ∫ 0 n e - ρ ρ d ρ = 2 π ⋅ - e - ρ ρ + 1 0 n

Passo 4

Aplicando ao limite

l i m n → + ∞ - n + 1 e n + 1 ⋅ 2 π

A primeira parcela é igual a zero, dessa forma

∬ A n e - x 2 + y 2 d x d y = 2 π

Resposta

∬ A n e - x 2 + y 2 d x d y = 2 π

Ver Outros Exercícios desse livro