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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.3 - Ex. 50

Calcule o valor de ∑ n = 2 ∞ 1 n 4 + 4 com precisão de 0,1 de seu valor exato.

Passo 1

Eae gente tudo certo?! Bora resolver uma questãozinha de método integral, dessa vez olhando o erro.

Da teoria sabemos que o valor da precisão é dado pela diferença entre a soma total e a soma parcial, e esta diferença é dada pela integral da função do somatório. Vamos lá!

S - s n < 0 , 1

∫ n ∞ 1 x 2 + 4 d x = lim b → ∞ ⁡ ∫ n b 1 x 2 + 4 d x < 0,1

Substituindo x por 2u, conseguimos aplicar a regra da integração do arco tangente:

l i m b → ∞ 1 2 tan - 1 ⁡ x 2 n b = l i m b → ∞ 1 2 tan - 1 ⁡ b 2 - 1 2 tan - 1 ⁡ n 2 < 0,1

π 4 - 1 2 tan - 1 ⁡ n 2 < 0,1

n > 2 tan ⁡ π - 0,2 ≈ 9,867

n ≥ 10

Passo 2

Nossa soma total então é a soma de 10 termos para uma precisão de 0,1:

S ≈ s 10 = ∑ n = 2 10 1 n 2 + 4 = 0,3663

Resposta

S = 0,3663