Considere a competição entre o peixe azulado e o vermelhão mencionada no Problema 8. Suponha que ϵ₂ / σ₂ > ϵ₁ / σ₁ e ϵ₁ / σ₁ > ϵ₂ / σ₂ de modo que, como mostrado no texto, existe um ponto de equilíbrio estavel no qual ambas as espécies podem coexistir. E conveniente reescrever as equações do Problema 8 em termos das capacidades de saturação do lago para o peixe azulado B = ϵ₁ / σ₁ na ausência de vermelhão e para o vermelhão ( R = ϵ₂ / σ₂ ) na ausência do peixe azulado.

a) Mostre que as equações do Problema 8 tomam a forma:

dx/dt = ε₁ * x * (1 - (1/B) * x - (y₁/B) * y) , dy/dt = ϵ₂ * y * (1 - (1/R) * y - (y₁/R) * x)

Onde γ₁ = α₁ / σ₁ e γ₂ = α₂ / σ₂ . Determine o ponto de equilíbrio de coexistência ( X,Y) em função de B,R, γ₁ e gamma_2 .

b) Suponha, agora, que um pescador só pesca o peixe azulado, o que reduz B. Qual o efeito disso nas populações de equilíbrio? É possível, pescando, reduzir a população do peixe azulado a um tal nível que ele será extinto?

Passo 1

Saudações galerinha! Tudo bem?

Vamos juntos resolver mais um exercício?

Bora lá começar então!

Primeiramente vamos organizar e reescrever nossas variáveis x:

d x d t = ϵ 1 x ( 1 - α 1 ϵ 1 x - α 1 ϵ 1 y )

d x d t = ϵ 1 x ( 1 - 1 B x - γ 1 B y )

Primeiramente vamos organizar e reescrever nossas variáveis y:

d y d t = ϵ 2 y ( 1 - α 2 ϵ 2 y - α 2 ϵ 2 x )

d y d t = ϵ 2 y ( 1 - 1 R y - γ 1 R x )

Até aí tranquilo?

O ponto de equilíbrio de coexistência é dado por:

1 = 1 B x + γ 1 B y e 1 = 1 R y + γ 2 R x

Essas equações podem ser resolvidas aplicando o determinante, utilizada no problema anterior. Beleza!

Suas soluções serão:

x =   B - γ 1 R 1 - γ 1 γ 2

y =   R - γ 2 B 1 - γ 1 γ 2

Passo 2

Se B for reduzido, fica claro pela resposta do item (a) que X é reduzido e Y é aumentado. Para determinar se o peixe azul vai morrer. Vamos fazer a seguinte analise.

Inicialmente devemos observar que B γ 1 = ε 1 α 1 > ε 2 σ 2 = R e B γ 2 = ε 2 α 2 > ε 1 σ 1 = B

Para analisar melhor o comportamento dessas espécie vamos traçar as curvas de modelam seu comportamento.

De acordo como indicado na figura, onde estão os pontos críticos indicado por pontos pesados. À medida que B   diminui, X diminui, Y aumenta (como indicado acima) e o ponto de interseção aproxima-se de ( 0 , R ) . Se B γ 1 < R coexistência não é possível e o único os pontos críticos são ( 0,0 ) , ( 0 , R )   e   ( B , 0 ) . Pode-se mostrar que ( 0,0 )   e   ( B , 0 ) são instáveis e ( 0 , R ) é assintoticamente estável. Daí concluímos, quando coexistência não é mais possível, que x → 0 e y → R e assim a população de do peixe azul morrerá.

Te vejo na próxima questão!

Resposta

x =   B - γ 1 R 1 - γ 1 γ 2

y =   R - γ 2 B 1 - γ 1 γ 2