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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 12.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 5

Considere o peso suspenso por dois fios em cada diagrama. Encontre as magnitudes e os componentes dos vetores F 1 → e F 2 → , além dos ângulos α e β .

(Sugestão: esse é um triângulo retângulo.)

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo beleza? Então, bora lá para mais uma!

a. O enunciado pede para determinar quatro incógnitas: F 1 → e F 2 → , além dos ângulos α e β . Então, precisamos de quatro equações. As duas primeiras vêm das condições de equilíbrio das forças em x e y :

∑ F x = 0 ⇒ F 1   c o s   α = F 2   c o s   β    

∑ F y = 100   l b   ⇒ F 1   s e n   α + F 2   s e n   β = 100   l b    

Falta, duas equações e pra isso a gente tem que prestar atenção num comentário escondido no enunciado: esse é um triângulo retângulo. Então, temos

t g   α = 4 3 ⇒ α = a r c t g   4 3 = 53,13 °

t g   β = 3 4 ⇒ β = a r c t g   3 4 = 36,87 °

Passo 2

Prontinho, temos as quatro equações, agora temos que resolvê-las. Usando

F 1   c o s   α = F 2   c o s   β   ⇒ F 1   c o s   ( 53,13 ° ) = F 2   c o s   ( 36,87 ° )        

⇒ F 1 0,6 = F 2 0,8 ⇒ F 2 = 0,6 0,8 F 1 = 0,75   F 1    

Agora a gente usa F 2 = 0,75   F 1   para obter

F 1   s e n   α + F 2   s e n   β = 100   l b

⇒ F 1   s e n   53,13 ° + 0,75   F 1   s e n   36,87 ° = 100   l b

⇒ 1,25   F 1 = 100   l b ⇒ F 1 = 100   l b 1,25   l b = 80   l b

Agora também podemos obter

F 2 = 0,75 F 1 = 0,75 ⋅ 80   l b = 60   l b

Passo 3

A última coisa que temos que fazer é calcular os vetores F 1 → e F 2 → . Para isso, usamos

F 1 → = - F 1 c o s   α   i → + F 1 s e n   α   j → =   - 0,6 ⋅ 80   i → + 0,8 ⋅ 80   j → = - 48   i → + 64   j →

e

F 2 → = F 2 c o s   β   i → + F 2 s e n   β   j → = 0,8 ⋅ 60   i → + 0,6 ⋅ 60   j → = 48   i → + 36   j →

Passo 4

b. Beleza, agora vamos resolver mais um item que vai seguir mais ou menos o mesmo raciocínio. Vem comigo! Nós temos as equações:

∑ F x = 0 ⇒ F 1   c o s   α = F 2   c o s   β    

∑ F y = 100   l b   ⇒ F 1   s e n   α + F 2   s e n   β = 200   l b    

t g   α = 12 5 ⇒ α = a r c t g   12 5 = 67,38 °

t g   β = 3 4 ⇒ β = a r c t g   3 4 = 22,62 °

Vamos usar

F 1   c o s   α = F 2   c o s   β ⇒ F 1   c o s   ( 67,38 ° ) = F 2   c o s   ( 22,62 ° )        

⇒ 0,385 F 1 = 0,923 F 2   ⇒ F 1 = 0,923 0,385 F 2 = 2,4 F 2  

Agora, substituímos isso em

F 1   s e n   α + F 2   s e n   β = 200   l b ⇒ 2,42 F 2   s e n   67,38 ° + F 2   s e n   22,62 ° = 200   l b

⇒ 2,6   F 2 = 200   l b ⇒ F 2 = 200   l b 2,6 = 76,92   3   l b

Daqui, já obtemos

F 1 = 2,4 F 2 = 184,615   l b

Passo 5

Pra finalizar, temos que fazer é calcular os vetores F 1 → e F 2 → . Para isso, usamos

F 1 → = - F 1 c o s   α   i → + F 1 s e n   α   j → =   - 184,615 ⋅ 0,385   i → + 184,615 ⋅ 0,923   j →

⇒ F 1 → =   - 71,07   i → + 170,40   j →

e

F 2 → = F 2 c o s   β   i → + F 2 s e n   β   j → = 0,923   ⋅ 76,923   i → + 76,923 ⋅ 0,385   j →

⇒ F 2 → = 71,0   i → + 29,6   j →

É isso aí, pessoal! Até a próxima!

Resposta

a.

α = a r c t g   4 3 = 53,13 °

β = a r c t g   3 4 = 36,87 °

F 1 = 80   l b

F 2 = 60   l b

F 1 → = - 48   i → + 64   j →

F 2 → = 48   i → + 36   j →

b.

α = a r c t g   12 5 = 67,38 °

β = a r c t g   3 4 = 22,62 °

F 1 = 184,615   l b

F 2 = 76,92   3   l b

F 1 → =   - 71,07   i → + 170,40   j →

F 2 → = 71,0   i → + 29,6   j →