Considere o sistema

x ˙ = x + y y ˙ = 2 x + 2 y

(c) seja c um dado real, desenhe a trajetória da solução que satisfaz as condições iniciais x 0 = 0 e y 0 = c

Passo 1

Vamos lá então, na alternativa B encontramos a seguinte solução geral para esse nosso sisteminha:

x y = C 1 1 - 1 + C 2 1 2 e 3 t

Ou “abrindo” as matrizes:

x t = C 1 + C 2   e 3 t y t = - C 1 + 2   C 2 e 3 t

Passo 2

Então, vamos simplesmente aplicar as condições iniciais:

x 0 = 0 y 0 = c

Teremos:

x 0 = C 1 + C 2 e 0 = 0 y 0 = - C 1 + 2 C 2 e 0 = c

Resolvendo esse sisteminha, fica evidente que:

C 1 = - c 3

E

C 2 = c 3

Passo 3

Portanto, teremos a seguinte solução:

x y = - c 3 1 - 1 + c 3 1 2 e 3 t

Com c ∈ R .

Vimos na alternativa A, que uma solução para o sistema, seria também uma solução para a equação:

y - 2 x = k

Substituindo x t   e   y t :

c 3 + 2 c 3   3 3 t - 2 - c 3 + c 3 e 3 t = k

c = k

Portanto a trajetória solução é uma reta do tipo:

y - 2 x = c

Resposta

Concluímos então que, a solução para as condições iniciais dadas assume a seguinte forma:

x t = c 3 e 3 t - 1 y t = c 3 2 e 3 t + 1

Cuja trajetória é uma reta do tipo:

y = 2 x + c

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