Demonstrar que o produto de duas funções pares ou duas funções ímpares é igual a uma função par, e o produto de uma função par por uma função ímpar é igual a uma função ímpar.

Passo 1

Como já sabemos, sobre funções pares e ímpares:

g x = g - x             p a r        

h x = - h x           í m p a r

Passo 2

Então, vamos demonstrar o produto de duas funções pares. Supondo serem pares as funções a ( x ) e b ( x ) , teremos:

f x = a x ∙ b x

Então:

f - x = a - x b - x

Como são pares, será:

f - x = a x b x

Logo, o produto é par.

f - x = f ( x )

Passo 3

Supondo duas funções m ( x ) e n ( x ) ímpares:

f x = m x ∙ n x

Então:

f - x = m - x n - x

Como são funções ímpares, temos:

f - x = - m x ∙ - n x

f - x = m x n ( x )

Assim, o produto também será par.

f - x = f ( x )

Passo 4

Agora, supondo c ( x ) uma função par e d ( x ) uma função ímpar:

f x = c x ∙ d x

Então:

f - x = c - x ∙ d - x

f - x = c x ∙ - d x

f - x = - c x d ( x )

Logo, o produto é ímpar.

f - x = - f ( x )

Resposta

Assim, comprovamos que o produto de funções pares é igual a uma função par, assim como o produto de funções ímpares.

Já o produto de função ímpar com função par, será igual a uma função ímpar.

Funciona analogamente ao sinal no produto de números negativos e positivos.