Determinar o campo de existência das funções:

y = log ((x^3 - 3 x + 2)/(x + 1))

Passo 1

Para determinar o campo de existência das funções, vamos analisar quais valores x pode assumir, para que y assuma valores reais.

y = log ((x^3 - 3 x + 2)/(x + 1))

Sabemos que a condição de existência de um logaritmo, é, para

log_a ( b )

a base a deve ser um número positivo e diferente de 1, e o logaritmando b deve ser um número positivo maior que zero. Logo:

((x^3 - 3 x + 2)/(x + 1)) > 0

Vamos encontrar as raízes do numerador:

x^3 - 3 x + 2 = 0

Podemos começar testando se a divisão do termo independente ( + 2 ) pelo termo que acompanha o terceiro grau ( 1 x^3 ) é raíz da equação:

+- (2)/(1) = +- 2

(2)^3 - 3 (2) + 2 = 8 - 6 + 2 = 4 (!= 0) -> N ã o é r a i z !

(- 2)^3 - 3 (- 2) + 2 = - 8 + 6 + 2 = 0 (= 0) -> É r a i z !

Sabemos que - 2 é uma raíz da equação. Vamos aplicar agora Briot Ruffini.

Vamos lembrar como fazemos Briot Ruffini.

Montamos o quadro, com os coeficientes dos termos x da equação em cima ( 1 0 - 3 2 ) , e a primeira raiz que acabamos de testar a esquerda ( - 2 ) .Descemos com o primeiro coeficiente ( 1 ) , e multiplicamos pela raiz ( - 2 ) , preenchendo com o resultado ( - 2 ) na linha do meio, abaixo do segundo coeficiente ( 0 ) .

Fazemos a soma vertical e colocamos o resultado na linha de baixo ( - 2 ) , esse mesmo resultado multiplicaremos pela raiz ( - 2 ) novamente, e preenchemos na linha do meio ( 4 ) .

Novamente fazemos a soma vertical e preenchemos o resultado embaixo ( 1 ) , esse mesmo resultado que multiplicamos pela raiz novamente.

O produto dessa multiplicação ( - 2 ) , colocamos abaixo do último coeficiente ( 2 ) , e assim fazemos a última soma vertical.

Encontrando zero, temos os coeficientes da equação de segundo grau que precisaremos encontrar a raiz:

(1) x^2 + (- 2) x + (1) = 0

Fazendo bháskara:

x = (- b +- sqrt(Delta))/(2 a) Delta = b^2 - 4 a c = (- 2)^2 - 4 (1) (1) = 0

x = = (- ( - 2 ) +- sqrt(0))/(2 ( 1 )) = 1

Logo, as duas raízes encontradas também serão raiz da nossa equação de terceiro grau.

Lembrando da nossa equação:

((x^3 - 3 x + 2)/(x + 1)) > 0

Sendo então - 2 e 1 as raízes que zeram a equação. Vamos testar valores maiores e menores, para saber sobre o sinal do termo.

Para x = - 3 :

(- 3)^3 - 3 (- 3) + 2 = - 27 + 9 + 2 = - 17

Para x = 0 :

(0)^3 - 3 (0) + 2 = 2

Para x = 2 :

(2)^3 - 3 (2) + 2 = 8 - 6 + 2 = 4

Para o termo do denominador, sabemos que x não pode ser igual a - 1 , pois zera o termo. Então para x < - 1 o termo será negativo, e para x > - 1 o termo será positivo.

Logo, para que o logaritmando seja positivo, x deve estar no intervalo [ - oo , - 2 [ e ] - 1 , oo ] .

Resposta

Então, o campo de existência da função é:

{x in R| x < - 2 , x > 1 , x != 0 }

{ y in R }

Compreendeu toda a analisa dos sinais da função?

Montar a tabela ajuda muito nisso.