Determine uma solução da equação dada que satisfaz as condições iniciais dadas. (Proceda como no Exemplo 3 da Seção 8.3).

y "   - x y ' - y = 0 ,   y ( 0 ) = 1   e   y ' ( 0 ) = 0

Passo 1

Vamos seguindo a questão 11!!

Respirem fundoo !!

Nós temos uma solução do tipo:

y x = ∑ n = 0 + ∞ a n x n

Sendo assim, as derivadas ficam fáceis:

y ' x = ∑ n = 1 + ∞ n a n x n - 1

y " x = ∑ n = 2 + ∞ n n - 1 a n x n - 2

Na fórmula:

∑ n = 2 + ∞ n n - 1 a n x n - 2 - x ∑ n = 1 + ∞ n a n x n - 1 - ∑ n = 0 + ∞ a n x n = 0

∑ n = 2 + ∞ n n - 1 a n x n - 2 - ∑ n = 1 + ∞ n a n x n - ∑ n = 0 + ∞ a n x n = 0

Reorganizando:

∑ n = 0 + ∞ n + 1 ( n + 2 ) a n + 2 x n - ∑ n = 1 + ∞ n a n x n - ∑ n = 0 + ∞ a n x n = 0

Vamos isolar tudo em função de x n :

∑ n = 0 + ∞ n + 1 n + 2 a n + 2 - n a n - a n x n = 0

Para atendermos esta igualdade o termo deve ser igual a 0, certo?

n + 1 n + 2 a n + 2 - n a n - a n = 0

a n + 2 = ( n + 1 ) a n n + 1 n + 2

a n + 2 = a n n + 2

Vamos guardar esta informação!!

Passo 2

Olhando as condições nós vemos que:

y ( 0 ) = 1

Ou seja, quando x = 0 a nossa função y é somente:

y 0 = a 0 = 1

A próxima:

y ' ( 0 ) = 0

Ou seja, quando x = 0 a nossa função y é somente:

y ' 0 = a 1 = 0

Passo 3

Voltando a equação do Passo 1:

a n + 2 = a n n + 2

Substituindo:

a 2 = a 0 2 = 1 2

a 3 = a 1 2 = 0

a 4 = a 2 4 = 1 2 × 4 = 1 2 2 . 2 !

a 5 = a 3 5 = 0

a 6 = a 4 6 = 1 2 2 . 2 × 6 = 1 2 3 . 3 !

Analisando esta equação nós podemos ver um padrão:

a 2 n = 1 2 n . n !

E a nossa série de potência terá a fórmula de:

y x = ∑ n = 0 + ∞ a 2 n x 2 n

Ou melhor:

y x = ∑ n = 0 + ∞ x 2 n 2 n . n !

E é isto aí galerinhaa !!

Resposta

y x = ∑ n = 0 + ∞ x 2 n 2 n . n !

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