Determine uma solução da equação dada que satisfaz as condições iniciais dadas. (Proceda como no Exemplo 3 da Seção 8.3).

y "   + x y = 0 ,   y ( 0 ) = 0   e   y ' ( 0 ) = 1

Passo 1

Vamos seguindo porque a vida não paaaaraaa ....

Nós temos uma solução do tipo:

y x = ∑ n = 0 + ∞ a n x n

Sendo assim, as derivadas ficam fáceis:

y ' x = ∑ n = 1 + ∞ n a n x n - 1

y " x = ∑ n = 2 + ∞ n n - 1 a n x n - 2

Na fórmula:

∑ n = 2 + ∞ n n - 1 a n x n - 2 + x ∑ n = 0 + ∞ a n x n = 0

∑ n = 2 + ∞ n n - 1 a n x n - 2 + ∑ n = 0 + ∞ a n x n + 1 = 0

Reorganizando:

∑ n = 0 + ∞ n + 1 ( n + 2 ) a n + 2 x n + ∑ n = 0 + ∞ a n x n + 1 = 0

Para conseguirmos isolar tudo em função de x n :

∑ n = 0 + ∞ n + 1 ( n + 2 ) a n + 2 x n + ∑ n = 1 + ∞ a n - 1 x n = 0

Mas o valor de n do somatório deve começar no mesmo número, então:

1.2 . a 2 + ∑ n = 1 + ∞ n + 1 ( n + 2 ) a n + 2 x n + ∑ n = 1 + ∞ a n - 1 x n = 0

Agora sim:

2 a 2 + ∑ n = 1 + ∞ n + 1 n + 2 a n + 2 + a n - 1 x n = 0

Para atendermos esta igualdade os dois termos devem ser iguais a 0, certo?

2 a 2 = 0 →   a 2 = 0

n + 1 n + 2 a n + 2 + a n - 1 = 0

Vamos guardar esta informação!!

Passo 2

Olhando as condições nós vemos que:

y ( 0 ) = 0

Ou seja, quando x = 0 a nossa função y é somente:

y 0 = a 0 = 0

A próxima:

y ' ( 0 ) = 1

Ou seja, quando x = 0 a nossa função y é somente:

y ' 0 = a 1 = 1

Recapitulando o que já descobrimos:

{ a 0 = 0 a 1 = 1 a 2 = 0

Passo 3

Reorganizando a segunda equação que vimos do Passo 1:

a n + 2 = - a n - 1 n + 1 n + 2

Para colocar em função de a n :

a n = - a n - 3 n n - 1 ,   p a r a   n ≥ 3

Analisando esta equação nós podemos ver um padrão:

a 3 n = 0 ,     p a r a   n ≥ 1

E os coeficiente que vão apresentar um valor diferente de zero são:

a 3 n + 1 ≠ 0 ,     p a r a   n ≥ 1

Se é assim:

a 4 = - a 1 2 = - 1 2

a 7 = - a 4 6 × 7 = 1 2 × 6 × 7

a 10 = - a 7 9 × 10 = - 1 2 × 6 × 7 × 9 × 10

E assim por diante:

y x = x - 1 2 x 4 + 1 2 × 6 × 7 x 7 - 1 2 × 6 × 7 × 9 × 10 x 10 …

E a nossa série de potência terá a fórmula de:

y x = ∑ n = 0 + ∞ a 3 n + 1 x 3 n + 1

E é isto aí galerinhaa !!

Resposta

y x = ∑ n = 0 + ∞ a 3 n + 1 x 3 n + 1

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