Determine a solução geral:

(e) (d^2 x)/(d t^2) + 2 (d x)/(d t) - 3 t = (2 + 8 t) e^t

Passo 1

Primeiro vamos definir a equação:

Trata-se de uma EDL de 2º grau(derivada segunda) e não-homogênea ( g ( t ) != 0 )

Sabendo disso, a temos que a solução geral será dada por:

x (t) = x_h (t) + x_p (t)

Onde x_h é a parte homogênea da solução, e x_p é a solução particular.

Passo 2

No caso da solução homogênea, podemos obtê-la levando em conta a seguinte equação auxiliar:

m^2 + 2 m - 3 = 0

E então obtemos as duas raízes:

m_1 = 1 e m_2 = - 3

Portanto a solução será:

x_h (t) = C_1 e^(m_1 t) + C_2 e^(m_2 t)

x_h (t) = C_1 e^t + C_2 e^(- 3 t)

Passo 3

Agora, sabendo que g (t) = (2 + 8 t) e^t é uma função trigonométrica e polinomial, esperamos que a solução particular também seja.

Portanto podemos propor uma solução do tipo:

x_p (t) = (A t + B) e^t

Mas repare que B e^t já existe em x_h ( C_1 e^t ) , portanto devemos multiplicar t no termo da solução particular a fim de que ela seja diferente da homogênea; então:

x_p (t) = (A t + B t) e^t

Mas novamente temos dois termos iguais, portanto novamente vamos multiplicar t no termo B t e^t .

De onde obtemos:

x_p (t) = (A t + B t^2) e^t

Então:

x_p^' (t) = (A t + A + 2 B t + B t^2) e^t

E

x_p^(' ') (t) = (A t + 2 A + 4 B t + B t^2 + 2 B) e^t

Substituindo na equação original:

(A t + 2 A + 4 B t + B t^2 + 2 B) e^t + 2 (A t + A + 2 B t + B t^2) e^t - 3 (A t + B t^2) e^t = (2 + 8 t) e^t

(4 A + 8 B t + 2 B) = (2 + 8 t) e^t

Relacionando os dois lados da igualdade:

8 B = 8 -> B = 1

4 A + 2 B = 2 -> A = 0

Portanto a solução particular será:

x_p (t) = t^2 e^t

Resposta

Uma vez que a solução geral é dada pela soma das soluções homogênea e particular, temos:

x (t) = C_1 e^t + C_2 e^(- 3 t) + t^2 e^t

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