Determine a solução geral:
(e)
Passo 1
Primeiro vamos definir a equação:
Trata-se de uma EDL de 2º grau(derivada segunda) e não-homogênea
Sabendo disso, a temos que a solução geral será dada por:
Onde é a parte homogênea da solução, e é a solução particular.
Passo 2
No caso da solução homogênea, podemos obtê-la levando em conta a seguinte equação auxiliar:
E então obtemos as duas raízes:
Portanto a solução será:
Passo 3
Agora, sabendo que é uma função trigonométrica e polinomial, esperamos que a solução particular também seja.
Portanto podemos propor uma solução do tipo:
Mas repare que já existe em , portanto devemos multiplicar no termo da solução particular a fim de que ela seja diferente da homogênea; então:
Mas novamente temos dois termos iguais, portanto novamente vamos multiplicar no termo .
De onde obtemos:
Então:
E
Substituindo na equação original:
Relacionando os dois lados da igualdade:
Portanto a solução particular será:
Resposta
Uma vez que a solução geral é dada pela soma das soluções homogênea e particular, temos: