1 - Determine uma solução particular

d ) {[[overset(˙)(x) = - 2 y],[overset(˙)(y) = - x + 3 cos (t)]])

Passo 1

Em sistema de soluções de EDO’s não homogênea, como sabemos temos que primeiro resolver a homogênea e depois a particular! O sistema homogêneo é:

{[[overset(˙)(x) = - 2 y],[overset(˙)(y) = - x]])

Como já vimos de montão como resolver homogêneas, vou ser mais rápido aqui, beleza? A matriz de coeficientes é:

A = [[[0,-,2],[1,0]]]

Então, os autovalores lambda podem ser encontrados por:

det ([[0,-,lambda,-,2],[1,0,-,lambda]]) = 0 ->

det ([[-,lambda,-,2],[1,-,lambda]]) = 0 ->

(- lambda)^2 + 2 = 0 ->

lambda^2 = - 2 ->

lambda = +- sqrt(- 2)

Então...

lambda = +- sqrt(2) i

Show! As soluções fundamentais então serão assim:

x^((1)) = e^(a t) (vec alpha cos (b t) - vec beta sin (b t))

x^((2)) = e^(a t) (vec alpha sin (b t) + vec beta cos (b t))

Onde a e b :

lambda = 0 +- sqrt(2) i -> a = 0 e b = sqrt(2)

Quanto a alpha e beta são os autovetores!

Passo 2

BUSCA PELOS AUTOVETORES: CASO COMPLEXO.

Os autovetores no caso de números complexos são calculados assim:

([[-,lambda,-,2],[1,-,lambda]]) ([[c],[d]]) = 0

Onde c e d são as coordenadas complexas do nosso vetor v . Como lambda = +- sqrt(2) i , ecolhendo lambda = + sqrt(2) i para analisar...

([[-,sqrt(2),i,-,2],[1,-,sqrt(2),i]]) ([[c],[d]]) = 0 ->

Isolando d em função de c :

d = - (sqrt(2))/(2) i c

Escolhendo c = 1 , então...

d = - (sqrt(2))/(2) i

O autovetor v então será:

v = ([[1],[- (sqrt(2))/(2) i]]) =

([[1],[0]]) + ([[0],[- (sqrt(2))/(2)]]) i

Ou seja:

vec alpha = ([[1],[0]]) e vec beta = ([[0],[- (sqrt(2))/(2)]])

Logo, as soluções fundamentais serão...

x^((1)) = (([[1],[0]]) cos (sqrt(2) t) - ([[0],[- (sqrt(2))/(2)]]) sin (sqrt(2) t))

x^((2)) = (([[1],[0]]) sin (sqrt(2) t) + ([[0],[- (sqrt(2))/(2)]]) cos (sqrt(2) t))

Ou, simplificando...

x^((1)) = ([[cos (sqrt(2) t)],[(sqrt(2))/(2) sin (sqrt(2) t)]])

x^((2)) = ([[sin (sqrt(2) t)],[- (sqrt(2))/(2) cos (sqrt(2) t)]])

Passo 3

Com essas soluções fundamentais encontradas, podemos encontrar a solução da particular X_p sabendo da formulinha marota:

X_p = u_1 x^((1)) + u_2 x^((2))

Onde u_1 e u_2 são encontrados aqui

([[u_1],[u_2]]) = int [[[x^((1)),x^((2))]]]^(- 1) * G (t) d t

E o G (t) é o vetor que torna a coisa toda não homogênea:

{[[overset(˙)(x) = - 2 y],[overset(˙)(y) = - x + 3 cos (t)]]) -> G (t) = ([[0],[3 cos (t)]])

Então vamos calcular essa integral aí!

Passo 4

([[u_1],[u_2]]) = int [[[[[cos (sqrt(2) t)],[(sqrt(2))/(2) sin (sqrt(2) t)]],[[sin (sqrt(2) t)],[- (sqrt(2))/(2) cos (sqrt(2) t)]]]]]^(- 1) * ([[0],[3 cos (t)]]) d t

Invertendo essa matriz:

[[[[[cos (sqrt(2) t)],[(sqrt(2))/(2) sin (sqrt(2) t)]],[[sin (sqrt(2) t)],[- (sqrt(2))/(2) cos (sqrt(2) t)]]]]]^(- 1) = (1)/(D) [[[[[- (sqrt(2))/(2) cos (sqrt(2) t)],[- (sqrt(2))/(2) sin (sqrt(2) t)]],[[- sin (sqrt(2) t)],[cos (sqrt(2) t)]]]]]

Onde D é o determinante da matriz original.

D = det [[[[[cos (sqrt(2) t)],[(sqrt(2))/(2) sin (sqrt(2) t)]],[[sin (sqrt(2) t)],[- (sqrt(2))/(2) cos (sqrt(2) t)]]]]] = - (sqrt(2))/(2) cos^2 (sqrt(2) t) - (sqrt(2))/(2) sin^2 (sqrt(2) t) =

- (sqrt(2))/(2) (cos^2 t + sin^2 t) = - (sqrt(2))/(2)

Então...

[[[[[cos (sqrt(2) t)],[(sqrt(2))/(2) sin (sqrt(2) t)]],[[sin (sqrt(2) t)],[- (sqrt(2))/(2) cos (sqrt(2) t)]]]]]^(- 1) = (1)/(D) [[[[[- (sqrt(2))/(2) cos (sqrt(2) t)],[- (sqrt(2))/(2) sin (sqrt(2) t)]],[[- sin (sqrt(2) t)],[cos (sqrt(2) t)]]]]] =

- (2)/(sqrt(2)) [[[[[- (sqrt(2))/(2) cos (sqrt(2) t)],[- (sqrt(2))/(2) sin (sqrt(2) t)]],[[- sin (sqrt(2) t)],[cos (sqrt(2) t)]]]]] =

[[[[[cos (sqrt(2) t)],[sin (sqrt(2) t)]],[[(2)/(sqrt(2)) sin (sqrt(2) t)],[- (2)/(sqrt(2)) cos (sqrt(2) t)]]]]]

Logo...

([[u_1],[u_2]]) = int [[[[[cos (sqrt(2) t)],[(sqrt(2))/(2) sin (sqrt(2) t)]],[[sin (sqrt(2) t)],[- (sqrt(2))/(2) cos (sqrt(2) t)]]]]]^(- 1) * ([[0],[3 cos (t)]]) d t ->

([[u_1],[u_2]]) = int [[[[[cos (sqrt(2) t)],[sin (sqrt(2) t)]],[[(2)/(sqrt(2)) sin (sqrt(2) t)],[- (2)/(sqrt(2)) cos (sqrt(2) t)]]]]] * ([[0],[3 cos (t)]]) d t ->

([[u_1],[u_2]]) = int ([[(6)/(sqrt(2)) sin (sqrt(2) t) cos (t)],[- (6)/(sqrt(2)) cos (sqrt(2) t) cos (t)]]) d t ->

Integrando então essa matriz integrando cada um dos termos:

([[u_1],[u_2]]) = ([[(6)/(sqrt(2)) (- sin t sin (sqrt(2) t) - sqrt(2) cos t cos (sqrt(2) t))],[- (6)/(sqrt(2)) (sqrt(2) sin (sqrt(2) t) cos t - sin t cos (sqrt(2) t))]])

Repare que não há necessidade de se colocar a constante de integração! A solução da particular então será:

X_p = u_1 x^((1)) + u_2 x^((2)) ->

X_p = ((6)/(sqrt(2)) (- sin t sin (sqrt(2) t) - sqrt(2) cos t cos (sqrt(2) t))) ([[cos (sqrt(2) t)],[(sqrt(2))/(2) sin (sqrt(2) t)]]) + (- (6)/(sqrt(2)) (sqrt(2) sin (sqrt(2) t) cos t - sin t cos (sqrt(2) t))) ([[sin (sqrt(2) t)],[- (sqrt(2))/(2) cos (sqrt(2) t)]])

Então essa é a resposta da particular em forma de vetor:

([[x_p],[y_p]]) = ((6)/(sqrt(2)) (- sin t sin (sqrt(2) t) - sqrt(2) cos t cos (sqrt(2) t))) ([[cos (sqrt(2) t)],[(sqrt(2))/(2) sin (sqrt(2) t)]]) + (- (6)/(sqrt(2)) (sqrt(2) sin (sqrt(2) t) cos t - sin t cos (sqrt(2) t))) ([[sin (sqrt(2) t)],[- (sqrt(2))/(2) cos (sqrt(2) t)]])

Claro, você pode tentar dar uma arrumada, mas não melhor mais que isso não.

Resposta

([[x_p],[y_p]]) = ((6)/(sqrt(2)) (- sin t sin (sqrt(2) t) - sqrt(2) cos t cos (sqrt(2) t))) ([[cos (sqrt(2) t)],[(sqrt(2))/(2) sin (sqrt(2) t)]]) + (- (6)/(sqrt(2)) (sqrt(2) sin (sqrt(2) t) cos t - sin t cos (sqrt(2) t))) ([[sin (sqrt(2) t)],[- (sqrt(2))/(2) cos (sqrt(2) t)]])

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