Enunciado

Determine se o vetor é gradiente. Em caso afirmativo, ache a função cujo gradiente é o vetor dado.

Passo 1

Falaaaaa rapaziadaaa tudo blz?

Então nesta questão dado que,

e y sin ⁡ z i + x e y sin ⁡ z j - x e y cos ⁡ z k

O primeiro passo aqui vai ser separar as funções por M , N   e   R

M x , y , z = e y sin ⁡ z ,     N x , y , z = x e y sin ⁡ z ,     R x , y , z = x e y cos ⁡ z

Passo 2

Derivando M y ,   M z ,   N x ,   N z   ,   R x ,   R y

M y x , y , z = e y sin ⁡ z   N x x , y , z = e y sin ⁡ z R x x , y , z = e y cos  ⁡ z

M z x , y , z = e y cos  ⁡ z N z x , y , z = x e y cos ⁡ z R y x , y , z = x e y cos ⁡ z

Logo,

M y x , y , z = N x x , y , z

M z x , y , z = R x x , y , z

N z x , y , z = R y x , y , z

Passo 3

Sendo o vetor gradiente dado ∇ F ( x , y , z )

  F x x , y , z = e y sin ⁡ z

  F y x , y , z = x e y sin ⁡ z

  F z x , y , z = x e y cos ⁡ z

Integrando F x x , y , z por x temos,

∫ e y sin ⁡ z   d x = e y sin ⁡ z + g ( y , z )

Onde g ( y , z ) é independente de dx

F y x , y , z = x e y sin ⁡ z + g y ( y , z )

F x , y , z = x e y sin ⁡ z   + C

Resposta

F x , y , z = x e y sin ⁡ z   + C